Используя уравнения Максвелла определить комплексные амплитуды составляющих вектора

Используя уравнения Максвелла, определить комплексные амплитуды составляющих вектора Em:
Начальные условия:
Hm=x0Hxm+y0Hym
Hxm=H0aλsinπxacosπybe-iβz
Hym=-H0bλcosπxasinπybe-iβz
Запишем уравнение Максвелла:
rotHm=iωεaEm, (1)
где εα - абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, ω=2πf, где f – частота электромагнитных колебаний.
Выразим из первого уравнения Максвелла комплексную амплитуду Em:
Em=rotHmiωεa
Запишем уравнение для комплексной амплитуды Hm, исходя из заданных условий:
Hm=x0*H0aλsinπxacosπybe-iβz-y0*H0bλcosπxasinπybe-iβz
Запишем уравнение для вектора напряжённости магнитного поля:
H=Hmeiωt
H=x0H0aλsinπxacosπybeiωt-βz-y0H0bλcosπxasinπybeiωt-βz
H=x0H0aλsinπxacosπybcosωt-βz-y0H0bλcosπxasinπybcosωt-βz
Составим определитель для комплексной амплитуды Hm и произведём дифференцирование, подставляя значения в определитель.
rotHm=-x0∂Hmy∂z+y0∂Hmx∂z+z0∂Hmy∂x-z0∂Hmx∂y
∂Hmy∂z=-iβH0bλsinπybcosπxae-iβz
∂Hmx∂z=-iβH0aλsinπxacosπybe-iβz
∂Hmy∂x=H0bλπasinπxacosπybe-iβz
∂Hmx∂y=-H0aλπbsinπxacosπybe-iβz
rotHm=x0*iβH0bλsinπybcosπxae-iβz-y0*iβH0aλsinπxacosπybe-iβz+z0*H0bλπasinπxacosπybe-iβz+z0H0aλπbsinπxacosπybe-iβz
Подставляем полученные значение в уравнение (1) и получаем уравнение для комплексных амплитуд составляющих вектора напряжённости электрического поля:
Em=x0*iβH0bλsinπybcosπxae-iβz-y0*iβH0aλsinπxacosπybe-iβziωεa+z0*H0bλπasinπxacosπybe-iβz+z0H0aλπbsinπxacosπybe-iβziωεa
Определить диапазон частот, в котором параметр β – действительное число, т.е. рассматриваемое поле – бегущая волна.
Запишем рабочие формулы для определения критической частоты:
ω=2πf
k=ωεaμa
β=2πfεaμa1-λλкр2
λ=2πωεaμa=1fεaμa, можно определить критическую частоту
λкр=1fкрεaμa=>fкр=1λкрεaμa=10,05366*17,7*10-12*1,26*10-6=3.95*109=3.95ГГц
Условие распространения волны:
λ<λкр
f<fкр
Т.е. волна будет распространяться от 3,95ГГц до бесконечности и β будет вещественным числом (f∈[3.95ГГц; +∞)).
Записать выражения для мгновенных значений всех составляющих векторов E и H для двух случаев: когда f принадлежит найденному в пункте 2 диапазону частот и когда f не принадлежит этому диапазону.
На частоте f≥3,95 ГГц, β – действительное число.
Запишем мгновенные значения для составляющих вектора E:
Et=x0Emxcosωt+φx+y0Emycosωt+φy+z0Emzcosωt+φz
Et=Re(E)
Et=x0βH0bλωεa1-tgδ2sinπybcosπxacosωt-βz+δ-y0βH0aλωεa1-tgδ2sinπxacosπybcosωt-βz+δ+z0a2+b2abπH0λiωεa1-tgδ2sinπxasinπybcosωt-βz+δ=x0βH0bλωεasinπybcosπxacosωt-βz-y0βH0aλωεasinπxacosπybcosωt-βz+z0a2+b2abπH0λωεasinπxasinπybcosωt-βz-π2
Т.к. δ=0 и i=eiπ/2
Запишем мгновенные значения для вектора H:
Ht=ReH=ReHm eiωt=x0H0aλsinπxacosπybeiωt-βz-y0H0bλcosπxasinπybeiωt-βz=x0H0aλsinπxacosπybcosωt-βz-y0H0bλcosπxasinπybcosωt-βz=
На частоте f<3,95 ГГц, β-комплексное число, тогда
β=Im k1-λλкр2= Im2πfεaμa1-λλкр2=-iα
Множитель e-iβzпереходит в e-αz, т.е. в действительное число, поэтому αz под косинус не попадает.
Et=x0(-α)H0bλωεae-αzsinπybcosπxacosωt+π2+y0αH0aλωεae-αzsinπxacosπybcosωt+π2+z0a2+b2abπH0λωεae-αzsinπxasinπybcosωt-π2
Ht=x0H0aλsinπxacosπybe-αzcosωt-y0H0bλcosπxasinπybe-αzcosωt
Рассчитать и построить графики зависимостей амплитуд составляющих векторов поля в сечении z=z0 от координаты x при y=0,5b в интервале 0≤x≤a и от координаты y при x=0,5a в интервале 0≤y≤b, а также зависимости тех же составляющих от координаты z вдоль линии x=0,5a; y=0,25b в интервале 0≤z≤2z0 на частотах f1 и f2.
Записать граничные условия для касательных и нормальных составляющих векторов E и H на границе раздела с идеальным металлом. Проверить выполнение граничных условий для касательных составляющих вектора E и нормальной составляющей вектора H на всех стенках трубы.
Для нижней стенки трубы (y=0) касательными составляющими вектора электрического поля являются составляющие Ex и Ez, а нормальной составляющей вектора магнитного поля является составляющая Hy. Возьмем необходимые ненулевые составляющие и подставим y=0.
sinπyby=0=sinπ0b=sin0=0
при этом другие множители от координаты y не зависят.
Следовательно, оба выражения обращаются в ноль и граничные условия выполняются.
Для верхней стенки трубы (y=b) касательными составляющими вектора электрического поля являются составляющие Ex и Ez, а нормальной составляющей вектора магнитного поля является составляющая Hy.
Проверка граничных условий заключается в проверке истинности утверждений и , т.е. равенства нулю касательной вектора и нормальной вектора проекций (составляющих).
Подставим в рассматриваемые выражения y=b, получим:
sinπyby=b=sinπbb=sinπ=0
при этом другие множители от координаты y не зависят.
Следовательно, оба выражения обращаются в ноль и граничные условия выполняются.
Для левой стенки волновода (х=а), касательными составляющими вектора электрического поля являются составляющие Ey и Ez, а нормальной составляющей вектора магнитного поля является составляющая Hx. Возьмем необходимые ненулевые составляющие и подставим х=а.
Получаем, что:
sinπxa x=a=sinπaa=sinπ=0
при этом другие множители от координаты y не зависят.
Следовательно, оба выражения обращаются в ноль и граничные условия выполняются.
Для правой стенки волновода (х=0), касательными составляющими вектора электрического поля являются составляющие Ey и Ez, а нормальной составляющей вектора магнитного поля является составляющая Hx. Возьмем необходимые ненулевые составляющие и подставим х=0.
Получаем, что:
sinπxa x=a=sinπ*0a=sin0=0
при этом другие множители от координаты y не зависят.
Следовательно, оба выражения обращаются в ноль и граничные условия выполняются.
Найти комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов и зарядов на всех стенках трубы, используя граничные условия из пункта . Вычислить величину продольного тока, текущего по широкой и узкой стенкам волновода (рассчитать продольный ток на частоте f1).
В случае идеально проводящих стенок токи проводимости являются поверхностными, а комплексную амплитуду поверхностного тока можно найти по формуле:
jSm=n0,Hm (1)
где nο – нормаль.
Комплексную амплитуду плотности зарядов можно найти по формуле:
ρsm=εan0,Em=εaEn (2)
где εα - абсолютная диэлектрическая проницаемость.Найдем комплексные амплитуды плотностей поверхностных токов и зарядов на всех стенках трубы:
1) Для нижней стенки трубы (y=0) нормаль совпадает с вектором y0: .
Касательными к этой стенке составляющими вектора являются составляющие вдоль осей x и z, то есть:
Hm=x0⋅Hmx+z0⋅Hmz
Подставим это выражение в формулу (1):
jsm=y0,x0⋅Hmx+z0⋅Hmz=y0,x0⋅Hmx+y0,z0⋅Hmz=-z0⋅Hmx y=0++x0⋅Hmz y=0=0-z0⋅H0aλsinπxacosωt-βz
Нормальной к этой стенке составляющей вектора E будет составляющая Emy. Тогда комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (1) будет равна:
ρsm=εaEmyy=0=-βH0aλωsinπxacosωt-βz
2) Для верхней стенки трубы (y=b) нормаль противоположна вектору : .
Касательными к этой стенке составляющими вектора H являются составляющие вдоль осей x и z, то есть:
Hm=x0⋅Hmx+z0⋅Hmz
Подставим это выражение в формулу (19):
jsm=-y0,x0⋅Hmx+z0⋅Hmz=-y0,x0⋅Hmx+-y0,z0⋅Hmz=z0⋅Hmx y=b--x0⋅Hmz y=b=-z0⋅H0aλsinπxacosωt-βz
Нормальной к этой стенке составляющей вектора будет составляющая Emy. Комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (2) будет равна:
ρsm=εaEmyy=b=βH0aλωsinπxacosωt-βz
3) Для правой стенки трубы (x=0) нормаль совпадает с вектором x0: .
Касательными к этой стенке составляющими вектора являются составляющие вдоль осей y и z, то есть:
Hm=y0⋅Hmy+z0⋅Hmz
Подставим это выражение в формулу (1):
jsm=x0,y0⋅Hmy+z0⋅Hmz=x0,y0⋅Hmy+x0,z0⋅Hmz=z0⋅Hmy|x=0--y0⋅Hmz|x=0=-z0H0bλsinπybcosωt-βz
Нормальной к этой стенке составляющей вектора E будет составляющая Emx. Комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (2) будет равна:
ρsm=εaEmxx=0=βH0bλωsinπybcosωt-βz
4) Для левой стенки трубы (x=a) нормаль противоположна вектору x0: .
Касательными к этой стенке составляющими вектора H, как и в третьем случае, являются составляющие вдоль осей y и z, то есть:
Hm=y0⋅Hmy+z0⋅Hmz
Подставим это выражение в формулу (1):
jsm=-x0,y0⋅Hmy+z0⋅Hmz=-x0,y0⋅Hmy+-x0,z0⋅Hmz=-z0⋅Hmy|x=a+y0⋅Hmz|x=a=z0H0bλsinπybcosωt-βz
Нормальной к этой стенке составляющей вектора E будет составляющая Emx. Комплексная амплитуда плотности поверхностных зарядов по формуле (2) будет равна:
ρsm=εaEmxx=a=-βH0bλωsinπybcosωt-βz,
Величина продольного тока на частоте f1, текущего по широкой и узким стенкам волновода:
Iш=-0aH0aλsinπxaei(ωt-βz)dx=-H0aλ-aπcosπx aei(ωt-βz)00,06=-0,1344-0,00383i
Iу=0bH0bλsinπybei(ωt-βz)dy=H0bλbπcosπxbei(ωt-βz)00.03==0.03378+0.000963i
Вычислить средние за период значения объемных плотностей энергий электрического и магнитного полей.
εr=2; μr=1
Em-комплексно-сопряженное составляющие вектора Em
wэлср= 14εа Em Em=14εа-x0*βH0bλsinπybcosπxae-iπ2-βziωεa*x0*βH0bλsinπybcosπxaeiπ2-βziωεa-y0*βH0aλsinπxacosπybeiπ2-βziωεa*y0*βH0aλsinπxacosπybe-iπ2-βziωεa-z0*H0πλb2+a2absinπxacosπybe-iβziωεa*z0*H0πλb2+a2absinπxacosπybeiβziωεa=14εаβ2H02bλ2sinπyb2cosπxa2ω2εa2 +β2H02aλ2sinπxa2cosπyb2ω2εa2+H02πλ2b2+a2ab2sinπxa2cosπyb2ω2εa2
wмагср= 14μа Hm Hm=14 μа x0 Hmx x0 Hmx +y0 Hmy y0 Hmy =14 μа H02aλ2sinπxa2cosπyb2+H02bλ2cosπxa2sinπyb2
Записать выражения для комплексного вектора Пойнтинга для двух случаев: когда частота f принадлежит найденному в пункте 2 диапазону частот и когда она не принадлежит этому диапазону. Определить среднее за период значение плотности потока энергии и амплитуду плотности реактивного потока энергии.
Комплексный вектор Пойнтинга есть половина векторного произведения комплексной амплитуды вектора напряжённости электрического поля на комплексное сопряжённое комплексной амплитуды вектора напряжённости магнитного поля. Составляющие полей нам известны, подставляем их в формулу, упрощаем выражение.
П=12Em,H*m=12x0Emx+y0Emy+z0Emz,x0H*mx+y0H*my=12x0Emx,x0H*mx+12y0Emy,x0H*mx+12z0Emz,x0H*mx+12x0Emx,y0H*my+12y0Emy,y0H*my+12z0Emz,y0H*my=-z0⋅12EmyH*mx+y0⋅12EmzH*mx+z0⋅12EmxH*my-x0⋅12EmzH*my
1) f>fкр
Рассмотрим сначала режим бегущей волны.
Запишем выражения для сопряженных составляющих вектора . Для этого поменяем знак в выражениях (9) и (10) перед мнимой единицей:
H*mx=H0aλsinπxacosπybeiβz
H*my=-H0bλcosπxasinπybeiβz
Тогда выражение для вектора Пойнтинга примет вид:
П=z0⋅121ωεaβH0aλsinπxacosπybe-iβzH0aλsinπxacosπybeiβz+y0⋅121ωεaH0πλb2+a2absinπxacosπybe-iπ2+βzH0aλsinπxacosπybeiβz-z0⋅121ωεaβH0bλsinπybcosπxae-iβzH0bλcosπxasinπybeiβz+x0⋅121ωεaH0πλb2+a2absinπxacosπybe-iπ2+βzH0bλcosπxasinπybeiβz=z0⋅121ωεaβH02a2λ2sinπxa2cosπyb2-z0⋅1ωεa12βH02b2λ2sinπyb2cosπxa2+y0⋅121ωεaH02πλ2b2+a2bsinπxa2cosπyb2e-iπ2+x0⋅181ωεaH02πbλ2b2+a2asin2πxasin2πybe-iπ2
(sinαcosα=sin2α2)
Заметим, что составляющая по оси z чисто действительная, а составляющая по оси x и y – мнимая, значит вдоль z и происходит перенос энергии. Тогда:
Пср=ReП=z0⋅121ωεaβH02a2λ2sinπxa2cosπyb2-z0⋅1ωεa12βH02b2λ2sinπyb2cosπxa2
Определяем амплитуду реактивного вектора Пойнтинга, учитывая, что eiπ2 =i
Пmax реакт=ImП=y0⋅121ωεaH02πλ2b2+a2bsinπxa2cosπyb2e-iπ2+x0⋅181ωεaH02πbλ2b2+a2asin2πxasin2πybe-iπ2
2) f<fкр
Для второго случая сопряженные составляющие вектора примут вид (делаем замену β=-iα и меняем знак перед мнимой единицей):
H*mx=H0aλsinπxacosπybe-αz
H*my=-H0bλcosπxasinπybe-αz
Тогда выражение для вектора Пойнтинга примет вид:
П= =-z0⋅12αH0aλωεae-αzsinπxacosπybeiπ2H0aλsinπxacosπybe-αz+y0⋅
12a2+b2abπH0λωεae-αzsinπxasinπybe-iπ2H0aλsinπxacosπybe-αz+z0⋅αH0bλωεae-αzsinπybcosπxaeiπ2H0bλcosπxasinπybe-αz+x0⋅121ωεaH0πλb2+a2absinπxacosπybe-αze-iπ2H0bλcosπxasinπybe-αz=-z0⋅12α ωεaH02a2λ2sinπxa2cosπyb2e-2αzeiπ2+z0⋅αωεa12H02b2λ2sinπyb2cosπxa2e-2αzeiπ2+y0⋅121ωεaH02πλ2b2+a2bsinπxa2cosπyb2e-2αze-iπ2+x0⋅181ωεaH02πλ2b2+a2asin2πxasin2πybe-2αze-iπ2
В этом случае вектор Пойнтинга чисто мнимый, соответственно
Пср=ReП=0
Пmax реакт=ImП==-z0⋅12α ωεaH02a2λ2sinπxa2cosπyb2e-2αzeiπ2+z0⋅αωεa12H02b2λ2sinπyb2cosπxa2e-2αzeiπ2+y0⋅121ωεaH02πλ2b2+a2bsinπxa2cosπyb2e-2αze-iπ2+x0⋅181ωεaH02πλ2b2+a2asin2πxasin2πybe-2αze-iπ2
Записать выражения для мгновенных значений плотностей активного и реактивного потоков энергии для двух случаев, указанных в пункте 8.
П=E,H=12x0Еx+y0Еу+z0Еz,x0Hx+y0Hy=12x0Еx,x0Hx+12y0Еу,x0Hx+12z0Еz,x0Hx+12x0Еx,y0Hy+12y0Еу,y0Hy+12z0Еz,y0Hy=-z0⋅12ЕуHx+y0⋅12ЕzHx+z0⋅12ЕxHy-x0⋅12ЕzHy
f>fкр
П=+z0⋅12βH0aλωεasinπxacosπybcosωt-βzH0aλsinπxacosπybcosωt-βz+y0⋅12a2+b2abπH0λωεasinπxasinπybcosωt-βz-π2H0aλsinπxacosπybcosωt-βz-z0⋅12βH0bλωεasinπybcosπxacosωt-βzH0bλcosπxasinπybcosωt-βz+x0⋅12a2+b2abπH0λωεasinπxasinπybcosωt-βz-π2H0bλcosπxasinπybcosωt-βz=z0⋅12a2βH02ωλ2εasinπxa2cosπyb2cosωt-βz2+y0⋅14a2+b2bπH02λ2ωεasinπxa2sin2πybsin⁡(2ωt-βz)-z0⋅12βH02bλ2ωεasinπybcosπxa2cosωt-βz2+x0⋅14a2+b2aπH0λωεasin2πxasinπyb2sin⁡(2ωt-βz)
Пакт=ReП=z0⋅12a2βH02ωλ2εasinπxa2cosπyb2cosωt-βz2-z0⋅12βH02bλ2ωεasinπybcosπxa2cosωt-βz2
П реакт=ImП=y0⋅14a2+b2bπH02λ2ωεasinπxa2sin2πybsin⁡(2ωt-βz)+x0⋅14a2+b2aπH0λωεasin2πxasinπyb2sin⁡(2ωt-βz)
2) f<fкр
Для второго случая сопряженные составляющие вектора E, примут вид (делаем замену β=-iα и меняем знак перед мнимой единицей):
Et=x0(-α)H0bλωεae-αzsinπybcosπxacosωt+π2+y0αH0aλωεae-αzsinπxacosπybcosωt+π2+z0a2+b2abπH0λωεae-αzsinπxasinπybcosωt-π2
Ht=x0H0aλsinπxacosπybe-αzcosωt-y0H0bλcosπxasinπybe-αzcosωt
Тогда вектор Пойнтинга имеет вид:
П=-z0⋅αH0aλωεae-αzsinπxacosπybcosωt+π2H0aλsinπxacosπybe-αzcosωt+y0⋅a2+b2abπH0λωεae-αzsinπxasinπybcosωt-π2H0aλsinπxacosπybe-αzcosωt-z0⋅-αH0bλωεae-αzsinπybcosπxacosωt+π2H0bλcosπxasinπybe-αzcosωt+x0⋅z0a2+b2abπH0λωεae-αzsinπxasinπybcosωt-π2H0bλcosπxasinπybe-αzcosωt==z0⋅14αa2βH02ωλ2εasinπxa2cosπyb2e-2αzsin2ωt+y0⋅a2+b28bπH02λ2ωεasin2πybsinπxa2e-2αzsin2ωt+z0⋅12αβH02bλ2ωεasinπybcosπxa2e-2αzsin2ωt+x0⋅a2+b28aπH02λωεasin2πxasinπyb2e-2αzsin2ωt
В этом случае вектор Пойнтинга чисто мнимый, соответственно
Пакт=0
П реакт=z0⋅14αa2βH02ωλ2εasinπxa2cosπyb2e-2αzsin2ωt+y0⋅a2+b28bπH02λ2ωεasin2πybsinπxa2e-2αzsin2ωt+z0⋅12αβH02bλ2ωεasinπybcosπxa2e-2αzsin2ωt+x0⋅a2+b28aπH02λωεasin2πxasinπyb2e-2αzsin2ωt
Вычислить средний за период поток энергии через поперечное сечение трубы.
Для этого проинтегрируем выражения для плотности активного потока энергии по площади поперечного сечения волновода:
PΣср=SПсрdS=S⊥ПсрdS=0b0aПсрz0dxdy=0b0a121ωεaβH02a2λ2sinπxa2cosπyb2-⋅1ωεa12βH02b2λ2sinπyb2cosπxa2dxdy==1ωεa12βH02a2+b2λ2 0b0asinπxa2cosπyb2-sinπyb2cosπxa2z0dxdy=βH022ωεaa2+b2λ20bcosπyb2dy0asinπxa2dx-0bsinπyb2dy0acosπxa2dx=βH022ωεaa2+b2λ2*0.0152
Подставив в полученное выражение все необходимые значения констант и параметров для f>fкр, найдём численное значение среднего за период потока энергии, проходящей через поперечное сечение трубы