Используя метод Фурье найти функцию u=u(x,t)

Сведем задачу (1) − (3) к задаче с однородными граничными условиями (2). Для этого представим искомую функцию ux,t в виде
ux,t=vx,t+wx,t,
где wx,t − некоторая функция удовлетворяющая условиям (2). Учитывая тип граничных условий (2), функцию wx,t можно взять в виде
wx,t=u0,t+xlul,t-u0,t=xl0.2+0.5t.
Проведем замену
ux,t=vx,t+xl0.2+0.5t.
Для функции vx,t постановка задачи примет вид
∂2v∂t2=a2∂2v∂x2,
(4)
vx=0=0, vx=l=0,
(5)
ut=0=vt=0+0.2xl=1.2-x2,
∂u∂tt=0=∂v∂tt=0+0.5xl=x+0.6sinx,
vt=0=1.2-x2-0.2xl, ∂v∂tt=0=x+0.6sinx-0.5xl.
(6)
Для решения задачи (4) − (6) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (4)
Xx∙T''t=a2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на a2Xx∙T(t)
T''(t)a2T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T''t+a2λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя vx,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (5), получим
vx=0=X0⋅Tt=0, vx=l=Xl⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, Xl=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, Xl=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 Xl=C2 sinλl=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinλl=0,
λl=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πkl2, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xkx=sinπkxl, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk''(t)+a2πkl2Tkt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Akcosaπktl+Bksinaπktl.
Решение vx,t задачи (4) − (6) представим в виде ряда по собственным функциям
vx,t=k=1∞TktXkx=k=1∞Akcosaπktl+Bksinaπktlsinπkxl,
∂v∂t=k=1∞aπkl-Aksinaπktl+Bkcosaπktlsinπkxl.
Коэффициенты Ak, Bk этого ряда найдем из начальных условий (6)
vt=0=k=1∞Aksinπkxl=1.2-x2-0.2xl,
∂v∂tt=0=k=1∞aπklBksinπkxl=x+0.6sinx-0.5xl.
Учитывая полноту системы собственных функций sinπkxlk=1∞, из первого равенства следует, что коэффициенты Ak представляют собой коэффициенты разложения функции 1.2-x2-0.2xl в ряд Фурье по собственным функциям sinπkxlk=1∞
Ak=2l0l1.2-x2-0.2xlsinπkxldx=-2πk0l1.2-x2-0.2xldcosπkxl=
=-2πk1.2-x2-0.2xlcosπkxl0l-0l-2x-0.2lcosπkxldx=
=-2πk1-l2-1k-1.2-lπk0l-2x-0.2ldsinπkxl=
=-2πk1-l2-1k-1.2-lπk-2x-0.2lsinπkxl0l=0+20lsinπkxldx=
=-2πk1-l2-1k-1.2+2l2π2k2cosπkxl0l==-2πk1-l2-1k-1.2+2l2-1k-1π2k2.
Из второго начального условия следует, что коэффициенты aπklBk представляют собой коэффициенты разложения функции x+0.6sinx-0.5xl в ряд Фурье по собственным функциям sinπkxlk=1∞
aπklBk=2l0lx+0.6sinx-0.5xlsinπkxldx=
=2l0lx+0.6sinxsinπkxldxI1+2l0l-0.5xlsinπkxldxI2
Вычислим эти интегралы по отдельности