Исходными данными для расчета является система дифференциальных уравнений:
По заданной системе дифференциальных уравнений, описывающих работу системы автоматического управления (САУ) необходимо:
1. Составить структурную схему САУ.
2. Найти передаточную функцию разомкнутой системы, используя правила структурных преобразований.
3. Построить асимптотическую логарифмическую амплитудночастотную (ЛАЧХ) и логарифмическую фазо-частотную характеристики (ЛФЧХ) и амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФХ) разомкнутой САУ.
4. Проверить правильность выполнения п.3, построив ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФХ с помощью пакета прикладных программ MathCAD;
5. Найти передаточную функцию замкнутой САУ и оценить ее устойчивость с помощью критериев Найквиста и Гурвица, а также с помощью необходимого и достаточного условия устойчивости, найти предельный коэффициент усиления.
6. Построить временные характеристики (переходную и весовую) замкнутой системы;
7. Смоделировать замкнутую систему в Simulink Matlab и построить переходную и весовую функцию системы; сравнить полученные характеристики с характеристиками, полученными в п.6.
8. Определить установившиеся значения сигнала δ при подаче на вход САУ воздействий в виде единичного скачка Хвх=1(t) и линейно возрастающего сигнала Хвх=1(t)∙t. Сравнить определенные значения со значениями, полученными по модели системы в Simulink Matlab.
Решение
1. Составим структурную схему САУ. Положим начальные условия нулевыми и перепишем систему уравнений в операторной форме:
δp=Xвхp-X6p
T1p+1X1p=k1δp-X2p
X2p=k2X1p
T3p+1X3p=k3δp-X2p
pX4p=k4X1p
T5p+1=k5X3p+X4p
X6p=k6Xвыхp-X6p
Преобразуем выражения:
δp=Xвхp-X6p
X1p=k1T1p+1δp-X2p
X2p=k2X1p
X3p=k3T3p+1δp-X2p
X4p=k4pX1p
Xвыхp=k5T5p+1X3p+X4p
X6p=k6Xвыхp-k6X6p → X6p=k61+k6Xвыхp
Введем обозначения:
W1p=k1T1p+1=0.60.5p+1;
W2p=k2=2.5;
W3p=k3T3p+1=10p+1;
W4p=k4p=0.1p;
W5p=k5T5p+1=25p+1;
W6p=k61+k6=31+3=0.75.
Тогда:
δp=Xвхp-X6p
X1p=W1(p)δp-X2p
X2p=W2(p)X1p
X3p=W3(p)δp-X2p
X4p=W4(p)X1p
Xвыхp=W5(p)X3p+X4p
X6p=W6(p)Xвыхp
Полученной системе соответствует схема, представленная на рис.1:
Рис. 1. Структурная схема системы
2. Для нахождения передаточной функции разомкнутой САУ преобразуем структурную схему, представленную на рис.1. Для этого воспользуемся правилами структурных преобразований.
Перенесем узел через звено W1:
Рис. 2. Преобразование структурной схемы
Объединим встречно-параллельное соединение звеньев в эквивалентное звено с передаточной функцией:
W10p=W1p1+W1pW2p=k1T1p+11+k1k2T1p+1=k1T1p+1+k1k2
Объединим параллельное соединение звеньев в эквивалентное звено с передаточной функцией:
W11p=W4p+W3pW1p=k4p+k3T3p+1k1T1p+1=k4p+k3T1p+1k1T3p+1=
=k4k1T3p+1+k3T1p+1pk1pT3p+1
Получим следующую структурную схему:
Рис. 3. Преобразование структурной схемы
Передаточная функция разомкнутой системы:
Wp=W10pW11pW5p=
=k1T1p+1+k1k2*k4k1T3p+1+k3T1p+1pk1pT3p+1*k5T5p+1
Передаточная функция замкнутой системы:
Фp=Wp1+WpW6p=
=k1T1p+1+k1k2*k4k1T3p+1+k3T1p+1pk1pT3p+1*k5T5p+11+k1T1p+1+k1k2*k4k1T3p+1+k3T1p+1pk1pT3p+1*k5T5p+1*k61+k6
Подставим в функцию значения параметров и упростим выражение. Для этого можно использовать, например, символьные преобразования MathCAD:
Таким образом, имеем следующие передаточные функции:
- передаточная функция разомкнутой системы:
Wp=4p2+8.048p+0.048p4+6.2p3+6.2p2+p
- передаточная функция замкнутой системы:
Фp=4p2+8.048p+0.048p4+6.2p3+9.2p2+7.036p+0.036
3
. Построим асимптотическую логарифмическую амплитудночастотную (ЛАЧХ) и логарифмическую фазо-частотную характеристики (ЛФЧХ) и амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФХ) разомкнутой САУ. Для этого необходимо передаточную функцию разомкнутой системы разложить на простейшие звенья:
Wp=4p2+8.048p+0.048p4+6.2p3+6.2p2+p
Для этого определим корни числителя:
И знаменателя:
То есть передаточную функцию разомкнутой системы можно представить следующим образом:
Wp=4p2+8.048p+0.048p4+6.2p3+6.2p2+p=4p+2.006p+0.006pp+0.2p+5p+1=
=4*2.006*0.0060.498p+1166.667p+15*0.2p5p+10.2p+1p+1=
=0.0480.498p+1166.667p+1p5p+10.2p+1p+1
Выделим следующие звенья:
W1p=0.048p – интегрирующее звено, наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек,L0.0001=20lg0.048-20lg0.0001=53.626;
W2p=166.667p+1 – форсирующее звено, наклон ЛАЧХ +20 дБ/дек, ω1=1166,667=0,006радс;
W3p=15p+1 – апериодическое звено, наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек, ω2=15=0,2радс;
W4p=1p+1 – апериодическое звено, наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек, ω3=11=1радс;
W5p=0.498p+1 – форсирующее звено, наклон ЛАЧХ +20 дБ/дек, ω4=10.498=2,008радс;
W6p=10,2p+1 – апериодическое звено, наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек, ω5=10,2=5радс.
На основании перечисленных выше положений построим асимптотическую ЛАЧХ:
Рис. 4. ЛАЧХ разомкнутой системы
ФЧХ разомкнутой системы определяется выражением:
φω=-π2+arctgω0.006-arctgω0.2-arctgω1+arctgω2.008-
-arctgω5.
ФЧХ разомкнутой системы:
Рис. 5. ЛФЧХ разомкнутой системы
АЧХ разомкнутой системы определяется выражением:
Aω=0.048ω*ω0.0062+1*1ω0.22+1*1ω12+1*ω2.0082+1*1ω52+1
Построим АФХ разомкнутой системы:
Рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
