Исходные данные:
H – высота этажа 3,3 м
EI – жесткость стоек – 1,4*105 кН*м2
Q1 – 500 кН
Q2=Q3 - 400 кН
J – сейсмичность района строительства в баллах - 8;
Кгр – категория грунта площадки строительства по табл. 4.1 СП 14.13300.2018 - II;
К1 – коэффициент, учитывающий допустимые повреждения зданий или сооружений, по табл. 5.2 СП 14.13300.2018 – 0,35;
К - коэффициент, учитывающий демпфирующие свойства здания или сооружения, по табл. 5.3 СП 14.13300.2018 – 1,3;
K0 – коэффициент, учитывающий назначение сооружения и его ответственность, принимаемы по таблице 4.2 СП 14.13300.2018, для всех вариантов принимается значение коэффициента равное 1,1.
Рисунок 1. Схема рамы
Решение
Для консольной расчетной схемы (рис. 1) определить горизонтальную сейсмическую нагрузку, с которой массы весом Q1, Q2, Q3 могут действовать на сооружение, для 3-х тонов колебаний.
Расчет консоли. Требуется определить горизонтальную сейсмическую нагрузку для системы с тремя степенями свободы (рисунок 2). По сейсмическим условиям система относится к сооружениям башенного типа, небольших размеров в плане, в конструкциях которых допускаются повреждения отдельных элементов, затрудняющих нормальную эксплуатацию при сейсмичности района строительства 8 баллов на грунтах II-й категории.
Рисунок 2 Свободные колебания консоли: единичные эпюры; формы колебаний
Сейсмические силы S1, S2, с которыми массы могут действовать на сооружение, определяем по формуле (1.1) согласно п. 5.5 [1]:
где K0 – коэффициент, учитывающий назначение сооружения и его ответственность, принимаемы по таблице 4.2 [1] =1,1;
К1 – коэффициент, учитывающий допустимые повреждения зданий или сооружений, по табл. 5.2 [1]=0,35;
Sj0ik – значение сейсмической нагрузки для i-й формы собственных колебаний здания, определяемое в предложении упругого деформирования конструкций по формуле
k
ik
i
где коэффициенты, согласно исходным данным, принимают следующие значения: К1=0,35; К = 1,3; А = 0,2
При этих данных сейсмическая нагрузка, сосредоточенная в узле k (k=1,2), для i-го тона колебаний (i = 1, 2) вычисляется по формуле:
где mjk – масса здания или момент инерции соответствующей массы здания, отнесенные к точке k по обобщенной координате j, определяемые с учетом расчетных нагрузок на конструкции согласно п.5.1 [1];
A – значение ускорения в уровне основания, принимаемое равным 1,0; 1,0; 3,0 м/с2 для расчетной сейсмичности 7,8,9 баллов соответственно;
i коэффициент динамичности, соответствующий i-й форме собственных колебаний зданий или сооружений, принимаемый в соответствии с п .5.6 [1] и вычисляемый по формулам (1.4) и (1.5).
Рисунок 3 Зависимость коэффициента динамичности от периода колебаний: кривая 1- для грунтов I и II категории; кривая 2 – для грунтов III и IV категории
Для грунтов I и II категории коэффициент динамичности принимает следующие значения:
Для грунтов III и IV категории:
Во всех случаях значения i должны приниматься не менее 0,8.
ηik - коэффициент, зависящий от формы деформации здания или сооружения при его собственных колебаниях по i-й форме, от узловой точки приложения рассчитываемой нагрузки и направления сейсмического воздействия, определяемый по п
. 5.7, 5.8 [1].
Определим значения дополнительных данных, необходимых для выполнения расчетов. Зная вес грузов определим соответствующие массы исходя из формулы (1.6).
k
где Qjk – вес здания или момент инерции соответствующего веса здания,
отнесенные к точке k по обобщенной координате j;
mk j масса здания или момент инерции соответствующей массы здания, отнесен- ные к точке k по обобщенной координате j;
g – ускорение свободного падения.
По результатам расчетов согласно формуле (1.6) получим:
m1= Q1/g=500/9,81= 50,96 кНс2/м;
m2=m3= Q2/g=400/9,81= 40,8 кНс2/м;
Выразим значения масс через m: m1=1,24m, m2=m, m3=m, m=40,8 кНс2/м Жесткость на первом участке сооружения EI1 = 10*EI=1,4106 кНм2; Жесткость на втором участке сооружения EI2 = 9*EI = 1,26*106 кНм2; Жесткость на третьем участке сооружения EI3 = 8*EI = 1,12*106 кНм2; Размеры участков по высоте h1 =h2 =h3 =3,3 м.
Для определения коэффициентов i и ik необходимо рассмотреть свободные колебания системы.
Свободные колебания
Для определения периодов и форм собственных колебаний системы с N степенями свободы необходимо, как известно, решить характеристическое уравнение:
(δ11m1-λ)δ12m2δ21m1(δ22m2-λ)δ31m1δ32m2δ13m3δ23m3(δ33m3-λ)=0
где λ=1/ω2 – параметр частоты колебаний
результатом решения будут n значений λi , которым соответствуют периоды колебаний:
где i номер тона колебаний (i = 1, 2, . . ., n).
Единичные перемещения вычислим, учитывая изгиб консоли, по эпюрам М1, М2, М3,
11 = h3/6EI;12 = 21 = 4h3/12EI; 22 = 3h3/2EI;33 = 3h3/6EI;
(δ11m1-1/ω2)δ12m2δ21m1(δ22m2-1/ω2)δ31m1δ32m2δ13m3δ23m3(δ33m3-1/ω2)=0
где круговая частота колебаний.
Подставим сюда значения масс и перемещений, разделим элементы определителя на (mh3/4EI) и представим определитель в виде:
(8-2λ)-4-4(8-2λ)0-40-4(4-λ)=0
где = 2EI/2 mh3=103/2.
Раскрывая определитель и приравнивая к нулю, найдем значения :
2 3 32 0,
его корни 33
Частоту и период колебаний определим из выражения (1.10):
103/λ; T = 2/ = 0,433
Откуда находим:
при λ=λ1, Т1=0,4333,73=0,224 с
при λ=λ2, Т2=0,4332=0,300 с
при λ=λ3, Т3=0,4330,268=0,837 с
Для определения форм колебаний составим систему уравнений с неизвестными перемещениями x1 и х2 по аналогии с выражением (1.9):
2-λх1-х2=0-х1+2-λх2-1=0
Откуда следует:
при λ=λ1=0,268; х1=0,5 х2=0,866
при λ=λ2=2; х1=-1 х2=0
при λ=λ3=3,752; х1=0,5 х2=-0,866
Таким образом, имеем векторы, определяющие формы собственных колебаний, нормированные так, что перемещения ригеля 3-го этажа равны единице:
х1=0,5000,8661,000 х2=-1,0000,0001,000 х3=0,500-0,8661,000
Формы собственных колебаний, как известно, обладают свойством ортогональности, которое выражается в том, что для любых двух векторов Хi и Хj, если i ≠ j, выполняется условие:
В частности, если все массы одинаковы, то и сами векторы Хi и Хj будут ортогональны, т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
