Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки, находящейся под действием постоянных сил
Груз М массой m начинает движение из точки D с начальной скоростью V0. Его движение происходит по наклонной плоскости длины l, составляющей угол α с горизонтом вдоль линии АВ наибольшего ската. Положение точки D задается величиной AD = S0, вектор начальной скорости V0 направлен параллельно прямой АВ к точке В. При движении по плоскости, на груз действует постоянная сила Q, направление которой задается углом γ; коэффициент трения скольжения между грузом и наклонной плоскостью равен f. Через τ с груз покидает плоскость или в точке A, или в точке B и, двигаясь далее в вертикальной плоскости под действием только силы тяжести, через T секунд после отделения от плоскости попадает в точку С. Считая груз материальной точкой найти:
–точку (А или В) отрыва груза от плоскости;
–время τ движения груза по наклонной плоскости;
–скорость груза VB (или VA) в момент отрыва;
–координаты XC, YC точки C приземления груза;
–время T движения груза в воздухе;
–скорость VC груза в точке падения.
Дано:
l = 60 м;α = 30◦;γ = 60◦;m = 25 кг
S0 = 20 м;V0 = 15 м/с;Q = 15 Н
f = 0,1;h1 = 100 м
Решение
Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Для описания прямолинейного движения груза вводим оси координат X1 и Y1. Изображаем груз в произвольном положении и показываем действующие на него силы: силу тяжести груза G, нормальную реакцию N, заданную силу Q и силу трения скольжения Fтр
Дифференциальное уравнение движения точки в проекциях на оси AX1Y1
mX1=Gsinα- Fтр-QcosγmY1=N+Qsinγ-Gcosα
Y1 = const => Y1 = 0
Сила трения-скольжения в общем виде вычисляется по формуле
Fтр = fN
Находим реакцию опоры
0 = N + Q sin γ – G cos α
N = G cos α – Q sin α
Подставляем в формулу силы трения
Fтр = f (G cos α – Q sin γ)
С учетом этого, дифференциальное уравнение движения точки принимает вид
mX1 = G sin α – f (G cos α – Q sin γ) – Q cos γ
где G = mg
mX1 = mg sin α – f (mg cos α – Q sin γ) – Q cos γ
mX1 = mg (sin α – f cos α) + Q (f sin γ – cos γ)
X1 = g (sin α – f cos α) + Qm (f sin γ – cos γ)
Подставляем числовые значения
X1 = 10 (sin 30◦ - 0,1 cos 30◦) + 1525 (0,1 sin 60◦ - cos 60◦)
X1 = 4,13 + (-0.31) = 3,82
дважды интегрируем
X1 = Vх1 = 3,82 t + C1X1 = 1,91t2 + C1t + C2
Найти постоянные интегрирования можно с помощью начальных условий, в качестве которых в механике используются значения координаты и скорости движущегося объекта в начальный момент времени
. Для данной задачи начальные условия имеют вид X01 = V0 = 15 м/с м; X01 = S0= 20 м
V0 = 3,82 t0 + C1 C1= V0
S0 = 1,91t20 + C1t0 + C2C2 = S0
Подставив полученные значения в уравнения движения тела, получаем
X1 = f(t) = 1,91t2 + V0t + S0
В численных значениях
X1 = f(t) = 1,91t2 + 15t + 20
Предположим, что груз покидает плоскость в точке В. В момент достижения грузом этой точки, время движения груза принимает значение , а координата X1 становится равной l = 60 м. Подставляя эти значения в уравнение движения материальной точки, получаем
60 = 1,91τ 2 + 15τ + 20
1,91τ 2 + 15τ – 40=0
Решив полученное квадратное уравнение, получаем:
τ1= 2,1 сек, τ2= - 9.95 сек.
Очевидно, что время движения точки на участке АВ не может принимать отрицательного значения, следовательно, при заданных условиях, движение на данном участке возможно только в сторону точки В. Время движения точки на этом участке τ = 2,1 сек
За это время тело приобретает скорость
VB = 3,82 τ + 15 = 3,82 ∙ 2,1 + 15 = 23,02 м/с
2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
