Имеются следующие данные о величине прибыли и инвестициях в отчетном году

1. Для построения группировки по величине прибыли, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда. Найдем длину интервала по формуле:
h=Xmax-Xminn
h=110-225=17,6
При h = 17,6 млн руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2):
Таблица 2 - Границы интервалов
Номер группы Нижняя граница,
млн. руб. Верхняя граница,
млн. руб.
1 22 39,6
2 39,6 57,2
3 57,2 74,8
4 74,8 92,4
5 92,4 110
Подсчитаем число предприятий, входящих в каждую группу (частоты групп), а также объем прибыли и инвестиций по группам, группировочная таблица представлена в таблице 3.
Таблица 3 - Группировочная таблица
Группы предприятий по величине прибыли Номер предприятия
Прибыль, млн. руб.
Инвестиции, млн. руб.
22-39,6 3 22 26
6 38 23
Всего по группе 2 60 49
39,6-57,2
4 45 22
2 51 25
8 57 32
Всего по группе 3 153 79
57,2 – 74,8 12 60 5
10 62 29
9 65 28
5 73 30
Всего по группе 4 260 92
Продолжение табл.3
74,8 – 92,4 - - -
Всего по группе 0 0 0
92,4 - 110 7 93 35
1 110 50
11 110 34
Всего по группе 3 313 119
ИТОГО: 12 786 339
Результаты группировки представлены в таблице 4, в которой отражены полученные середины интервалов частоты, относительные частоты (частости).
Таблица 4 – Результаты группировки предприятий по величине прибыли
Номер группы Группы предприятий по величине прибыли, млн. руб. Середина интервала,
x’ Число предприятий (частота), f Накопленная частота, F Относительная частота (частость), w
1 22-39,6 30,8 2 2 0,167
2 39,6-57,2
48,4 3 5 0,250
3 57,2 – 74,8 66 4 9 0,333
4 74,8 – 92,4 83,6 0 9 0,000
5 92,4 - 110 101,2 3 12 0,250
Итого: - 12 - 1,000
Из таблицы 4 видно, в группировке получился один пустой интервал, в изучаемой совокупности нет предприятий с прибылью от 74,8 до 92,4 млн. руб. Причиной этого выступает неравномерное распределение предприятий по величине прибыли и большое количество интервалов на меленький объем совокупности. Больше всего предприятий 4 (или 33,3%) имеют прибыль от 57,2 до 74,8 млн. руб.
2. Гистограмма используется для представления распределения интервального ряда. Полигон частот используется для графического представления распределения дискретного ряда, в данном случае в качестве частоты используется середина интервала. Гистограмма и полигон распределения прибыли представлены на рис. 1. Кумулята в отличие от полигона строится по накопленным частотам или частостям. При этом на оси абсцисс помещают значения признака, а на оси ординат — накопленные частоты или частости (рис. 2).
Рисунок 1 – Гистограмма и полигон распределения предприятий по размеру прибыли
Рисунок 2 – Кумулята распределения предприятий по размеру прибыли
3 . Определим структурные средние.
Мода (Мо) - наиболее часто встречающееся значение признака. Для интервального ряда распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:
Мо=xMо+hМо*fMо-fMо-1fMо-fMо-1+(fMо-fMо+1)
Где: xMо- нижняя граница модального интервала,
hМо - длина модального интервала,
fMо, fMо-1, fMо+1 - соответственно частота модального, предмодального и послемодального интервалов.
У большинства предприятий прибыль от 57,2 до 74,8 млн. руб., данный интервал и будет модальным.
Мо=57,2+17,6*4-34-3+(4-0) = 60,7 млн. руб.
Графически моду можно определить по гистограмме (рис. 1).
Таким образом, у большинства предприятий размер прибыли составляет 60,7 млн. руб..
Медиана (Ме) соответствует значению признака, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:
NMe=n+12
Для интервального ряда медиана определяется по формуле:
Ме=xMe+hМе*fi2-FMe-1fMe
Где: xMe- нижняя граница медианного интервала,
hМе - длина медианного интервала,
FMe-1 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному,
fMe - частота медианного интервала.
Определим положение медианы:
NMe=12+12 = 6,5
Медианой является среднее значение 6 и 7 показателей ранжированного ряда распределения прибвли. По накопленной частоте из таблицы 4 видно, что 6-е и 7-е предприятия находятся в группе от 57,2 до 74,8 млн. руб., данный интервал и будет медианным.
Ме=57,2+17,6*122-54 = 61,6 млн. руб.
Графически медиану можно определить по кумуляте (рис. 2).
Таким образом, у половины предприятий прибыль более 61,6 млн. руб., а у другой половины – менее 61,6 млн. руб.
Квартилем называется структурная переменная, делящая распределение на 4 равных частей по числу единиц в совокупности. Квартили определяется по аналогии с формулой медианы:
Кi=xКi+hКi*i*fi4-FКi-1fКi
Вторым квартилем является медиана, найдем 1-й и 3-й квартили.
1-й квартиль (1 * 12/4 = 3) лежит в интервале от 39,6 до 57,2 млн. руб..
К1=39,6+17,6*1*124-23 = 51,3 млн. руб.
3-й квартиль (3 * 12/4 = 9) лежит на границе интервалов от 57,2 до 74,8 млн. руб. и от 74,8 до 92,4 млн. руб, следовательно, 3-й квартиль будет равен 74,8 млн. руб. Проверим:
К3=57,2+17,6*3*124-54 = 74,8 млн. руб.
Таким образом, у 25% предприятий прибыль ниже 51,3 млн. руб., а 75% - больше 51,3 млн. руб., и у 75% предприятий прибыль ниже 74,8 млн. руб., а у 25% - больше 74,8 млн. руб.
4. Из рис. 1 видно, что предприятия по величине прибыли распределены неравномерно, в совокупности преобладают предприятия с более низкими значениями прибыли, что характерно при правосторонней асимметрии распределения.
Для аналитической оценки однородности распределения и наличия асимметрии определим среднее значение прибыли и коэффициент вариации по формулам:
х=x'ififi
V=σx*100
Где σ – выборочное среднеквадратическое отклонение, определяется:
σ=σ2
σ2=(xi-x)2fifi
где x'i – середина i-го интервала,
fi - частоты интервалов,
σ2 – выборочная дисперсия.
Для расчета показателей построим расчетную таблицу 5.
Таблица 5 – Расчетная таблица для определения коэффициента вариации
Номер группы Группы предприятий по прибыли, млн