Имеются следующие данные о распределении рабочих цеха по уровню месячной заработной платы:
Заработная плата одного рабочего за март, тыс.руб. До 23 23-25 25-27 27-29 29-31 Свыше 31
Число рабочих, чел. 4 9 15 55 14 3
Определите среднее квадратическое отклонение, дисперсию, квартили, коэффициент вариации и показатели закономерности рядов распределения: асимметрии и эксцесса. Покажите схематично кривую предложенного распределения. Сделайте выводы.
Решение
В задаче признак Х – это размер зарплаты, соответствующие частоты ni – это число рабочих. В качестве значений признака Х возьмем середины соответствующих интервалов группировки. Первый и последний открытые интервалы считаем длиной h=2 тыс.руб. также, как и все остальные.
Таблица для расчета показателей.
Группы
Середина интервала, xцентр
Кол-во, ni
xi·ni
Накопленная частота, S |x-xср|·ni
(x-xср)2·ni Относительная частота, ni/n
21 - 23 22 4 88 4 22 121 0.04
23 - 25 24 9 216 13 31.5 110.25 0.09
25 - 27 26 15 390 28 22.5 33.75 0.15
27 - 29 28 55 1540 83 27.5 13.75 0.55
29 - 31 30 14 420 97 35 87.5 0.14
31 - 33 32 3 96 100 13.5 60.75 0.03
Итого
100 2750
152 427 1
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:
Показатели центра распределения.
Средняя взвешенная (выборочная средняя)
EQ \x\to(x) = \f(∑xi·ni;∑ni) = \f(2750;100) = 27.5
Квартили.
Квартили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1, 25% будут заключены между Q1 и Q2, 25% - между Q2 и Q3. Остальные 25% превосходят Q3.
EQ Q1 = x0 + \f(h;fme) \b( \f( ∑f;4) - Sme-1 )
EQ Q1 = 25 + \f(2;15) \b( \f( 100;4) - 13 ) = 26.6
Таким образом, 25% единиц совокупности будут меньше по величине 26.6
Q2 совпадает с медианой, Q2 = 27.8
EQ Q3 = x0 + \f(h;fme) \b( \f( 3 ∑f;4) - Sme-1 )
EQ Q3 = 27 + \f(2;55) \b( \f(3•100;4) - 28 ) = 28.709
Остальные 25% превосходят значение 28.709.
Квартильный коэффициент дифференциации.
k = Q1 / Q3
k = 26.6 / 28.709 = 0.93
Децили (децентили).
Децили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 10% единиц совокупности будут меньше по величине D1; 80% будут заключены между D1 и D9; остальные 10% превосходят D9
EQ D1 = x0 + \f(h;fme) \b( \f( ∑f;10) - Sme-1 )
EQ D1 = 23 + \f(2;9) \b( \f( 100;10) - 4 ) = 24.333
Таким образом, 10% единиц совокупности будут меньше по величине 24.333
EQ D9 = x0 + \f(h;fme) \b( \f( 9 ∑f;10) - Sme-1 )
EQ D9 = 29 + \f(2;14) \b( \f(9•100;10) - 83 ) = 30
Остальные 10% превосходят 30
Среднее значение изучаемого признака по способу моментов
.
EQ \x\to(x) = \f(xi··fi;∑fi)·h + A
где А – условный нуль, равный варианте с максимальной частотой (середина интервала с максимальной частотой), h – шаг интервала.
EQ xi· = \f(xi - A;h)
Находим А = 28
Шаг интервала h = 2
Средний квадрат отклонений по способу моментов.
EQ D = \f([xi·]2·fi;∑fi)·h2 + (\x\to(x) - A)2
xц
x*i fi x*ifi
[x*i]2fi
22 -3 4 -12 36
24 -2 9 -18 36
26 -1 15 -15 15
28 0 55 0 0
30 1 14 14 14
32 2 3 6 12
100 -25 113
EQ \x\to(x) = \f(-25;100)·2+28 = 27.5
EQ D = \f(113;100)·22-(27.5-28)2 = 4.27
Среднее квадратическое отклонение.
EQ σ = \r(D) = \r(4.27) = 2.066
Показатели вариации.
Абсолютные показатели вариации.
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = xmax - xmin = 33 - 21 = 12
Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.
EQ d = \f(∑|xi - \x\to(x)| • ni;∑ni) = \f(152;100) = 1.52
Каждое значение ряда отличается от другого в среднем на 1.52
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).
EQ D = \f(∑(xi - \x\to(x))2 ni;∑ni) = \f(427;100) = 4.27
Среднее квадратическое отклонение.
EQ σ = \r(D) = \r(4.27) = 2.066
Каждое значение ряда отличается от среднего значения 27.5 в среднем на 2.066
Относительные показатели вариации.
К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.
Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.
EQ v = \f(σ;\x\to(x)) = \f(2.066;27.5)100% = 7.51%
Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
