Имеются данные, характеризующие индекс человеческого развития y и суточную калорийность питания, ккал на душу населения x1 в двадцати странах мира:
Страна y x1
1 0,904 3343
2 0,922 3001
3 0,763 3101
4 0,963 3543
5 0,918 3237
6 0,906 3330
7 0,905 3808
8 0,545 2415
9 0,894 3295
10 0,9 3504
11 0,932 3056
12 0,74 3007
13 0,701 2844
14 0,744 2861
15 0,921 3259
16 0,927 3350
17 0,802 3344
18 0,747 2704
19 0,927 3642
20 0,721 2753
Требуется:
1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи между показателями;
2.Для характеристики зависимости индекса человеческого развития y от суточной калорийности питания x1 рассчитать параметры следующих функций:
- линейной,
- степенной,
- полинома второго порядка.
3. С учетом результатов п.2 записать получившиеся математические зависимости;
4. Рассчитать коэффициент (индекс) корреляции, коэффициент (индекс) детерминации;
5. Оценить с помощью F- критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования;
6.Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации, проанализировать полученные результаты.
Решение
Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи между показателями:
Для предварительного определения вида связи между указанными признаками построим корреляционное поле.
Рис. 1 Поле корреляции зависимости уровня благосостояния населения от занятости.
По расположению точек, их концентрации в определенном направлении сложно судить о наличие связи, связь может быть линейной, степенной, полулогарифмической.
2. Для характеристики зависимости индекса человеческого развития y от суточной калорийности питания x1 рассчитать параметры следующих функций:
Для характеристики зависимости у от х рассчитать параметры следующих функций:
линейной:
Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу
1 3343 0,904 3022,072 11175649 0,817216 0,883966 0,022
2 3001 0,922 2766,922 9006001 0,850084 0,795348 0,137
3 3101 0,763 2366,063 9616201 0,582169 0,82126 0,076
4 3543 0,963 3411,909 12552849 0,927369 0,93579 0,028
5 3237 0,918 2971,566 10478169 0,842724 0,8565 0,067
6 3330 0,906 3016,98 11088900 0,820836 0,880598 0,028
7 3808 0,905 3446,24 14500864 0,819025 1,004456 0,110
8 2415 0,545 1316,175 5832225 0,297025 0,643505 0,181
9 3295 0,894 2945,73 10857025 0,799236 0,871529 0,025
10 3504 0,9 3153,6 12278016 0,81 0,925684 0,029
11 3056 0,932 2848,192 9339136 0,868624 0,809599 0,131
12 3007 0,74 2225,18 9042049 0,5476 0,796903 0,077
13 2844 0,701 1993,644 8088336 0,491401 0,754666 0,077
14 2861 0,744 2128,584 8185321 0,553536 0,759071 0,020
15 3259 0,921 3001,539 10621081 0,848241 0,8622 0,064
16 3350 0,927 3105,45 11222500 0,859329 0,88578 0,044
17 3344 0,802 2681,888 11182336 0,643204 0,884225 0,103
18 2704 0,747 2019,888 7311616 0,558009 0,71839 0,038
19 3642 0,927 3376,134 13264164 0,859329 0,961443 0,037
20 2753 0,721 1984,913 7579009 0,519841 0,731087 0,014
Итого 63397 16,782 53782,669 2,03E+08 14,3148 16,782 1,309
Среднее значение 3169,85 0,8391 2689,13345 10161072 0,71574 0,8391 –
336,3381 0,10794 – – – – –
113123,3 0,011651 – – – – –
σx2=x2-x2=10161072-3169,852=113123,3
σy2=y2-y2=0,7157-0,83912=0,01165
b=y∙x-y∙xx2-x2=2689,133-3169,85∙0,83910161072-3169,852=0,00026
a=y-b∙x=0,839-0,00026∙3169,85=0,0177
С помощью уравнения y=0,0177+0,000261∙x найдем значения . Например
y1= 0,0177+0,000261∙3343 = 0,884; и т.д.
степенной:
Уравнение степенной модели имеет вид:
y=a∙xb
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения: lgy=lga+b∙lgx.
Обозначим: Y=lgy, X=lgx, A=lga.
Тогда уравнение примет вид: Y=A+b∙X
X Y Y∙X X2
Y2
yx
1 3343 0,904 3,524 -0,044 -0,154 12,420 0,0019 0,89 0,02
2 3001 0,922 3,477 -0,035 -0,123 12,091 0,0012 0,79 0,14
3 3101 0,763 3,492 -0,117 -0,410 12,191 0,0138 0,82 0,07
4 3543 0,963 3,549 -0,016 -0,058 12,598 0,0003 0,94 0,02
5 3237 0,918 3,510 -0,037 -0,130 12,321 0,0014 0,86 0,07
6 3330 0,906 3,522 -0,043 -0,151 12,408 0,0018 0,88 0,03
7 3808 0,905 3,581 -0,043 -0,155 12,821 0,0019 1,02 0,13
8 2415 0,545 3,383 -0,264 -0,892 11,444 0,0695 0,62 0,15
9 3295 0,894 3,518 -0,049 -0,171 12,375 0,0024 0,87 0,02
10 3504 0,9 3,545 -0,046 -0,162 12,564 0,0021 0,93 0,04
11 3056 0,932 3,485 -0,031 -0,107 12,146 0,0009 0,80 0,14
12 3007 0,74 3,478 -0,131 -0,455 12,097 0,0171 0,79 0,07
13 2844 0,701 3,454 -0,154 -0,533 11,930 0,0238 0,74 0,06
14 2861 0,744 3,457 -0,128 -0,444 11,948 0,0165 0,75 0,01
15 3259 0,921 3,513 -0,036 -0,126 12,342 0,0013 0,86 0,06
16 3350 0,927 3,525 -0,033 -0,116 12,426 0,0011 0,89 0,04
17 3344 0,802 3,524 -0,096 -0,338 12,420 0,0092 0,89 0,10
18 2704 0,747 3,432 -0,127 -0,435 11,779 0,0160 0,71 0,06
19 3642 0,927 3,561 -0,033 -0,117 12,683 0,0011 0,97 0,05
20 2753 0,721 3,440 -0,142 -0,489 11,832 0,0202 0,72 0,00
Итого 63397 16,782 69,970 -1,605 -5,565 244,836 0,2035 16,74 1,27
Ср
. Знач. 3169,85 0,8391 3,499 -0,080 -0,278 12,242 0,0102 – 0,02
– – 0,047 – – – – – –
– – 0,00224 – – – – – –
Найдем b, A
b=Y∙X-Y∙XX2-X2=-0,278-3,499∙-0,08012,242-3,4992=1,076
A=Y-b∙X=-0,080-1,076∙3,499=3,843
Уравнение регрессии будет иметь вид: Y=3,843+1,076∙X
Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:
y=103,843∙x1,076
Найдем значение yx
y1=0,00014∙33431,076=0,89
полинома второго порядка:
Уравнение квадратичной парной регрессии имеет вид:
,
тогда, согласно МНК, будем иметь
В этой функции искомыми величинами являются параметры , и , поэтому, согласно необходимых условий экстремума функции, нужно, чтобы
,,
Продифференцируем данную функцию по всем переменным:
Это система нормальных уравнений в случае выбора квадратичной функции в качестве эмпирической функции.
Для расчетов построим вспомогательную таблицу (табл. 2).
Таблица 2
№ п/п х у х2 х 3 х4 у х у х2 ŷ
1 3343 0,904 11175649 37360194607 1,24895E+14 3022,072 10102786,7 0,901
2 3001 0,922 9006001 27027009001 8,11081E+13 2766,922 8303532,922 0,821
3 3101 0,763 9616201 29819839301 9,24713E+13 2366,063 7337161,363 0,850
4 3543 0,963 12552849 44474744007 1,57574E+14 3411,909 12088393,59 0,921
5 3237 0,918 10478169 33917833053 1,09792E+14 2971,566 9618959,142 0,882
6 3330 0,906 11088900 36926037000 1,22964E+14 3016,98 10046543,4 0,899
7 3808 0,905 14500864 55219290112 2,10275E+14 3446,24 13123281,92 0,916
8 2415 0,545 5832225 14084823375 3,40148E+13 1316,175 3178562,625 0,545
9 3295 0,894 10857025 35773897375 1,17875E+14 2945,73 9706180,35 0,893
10 3504 0,9 12278016 43022168064 1,5075E+14 3153,6 11050214,4 0,919
11 3056 0,932 9339136 28540399616 8,72195E+13 2848,192 8704074,752 0,837
12 3007 0,74 9042049 27189441343 8,17587E+13 2225,18 6691116,26 0,822
13 2844 0,701 8088336 23003227584 6,54212E+13 1993,644 5669923,536 0,764
14 2861 0,744 8185321 23418203381 6,69995E+13 2128,584 6089878,824 0,770
15 3259 0,921 10621081 34614102979 1,12807E+14 3001,539 9782015,601 0,887
16 3350 0,927 11222500 37595375000 1,25945E+14 3105,45 10403257,5 0,902
17 3344 0,802 11182336 37393731584 1,25045E+14 2681,888 8968233,472 0,901
18 2704 0,747 7311616 19770609664 5,34597E+13 2019,888 5461777,152 0,703
19 3642 0,927 13264164 48308085288 1,75938E+14 3376,134 12295880,03 0,923
20 2753 0,721 7579009 20865011777 5,74414E+13 1984,913 5464465,489 0,725
Сумма 63397 16,782 203221447 658324024111 2153753256333690 53782,67 174086239,02 16,782
Подставим полученные данные в систему уравнений:
Решим систему уравнений по правилу Крамера:
D0 =
D1 =
D2 =
D3 =
,
,
.
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
