Имеются условные данные о сети филиалов фирмы:
№
филиала
Объем выпуска продукции,
руб. (Y) Среднемесячная номинальная начисленная
заработная плата, руб. (X)
1 1008678 17667,6
2 271236 13912,0
3 192826 16313,9
4 693054 16054,7
5 106934 14436,2
6 215760 20000,8
7 136074 14890,5
8 404965 16240,8
9 357104 17010,4
10 781483 28585,6
11 273121 14528,6
12 267743 16717,7
13 151175 16189,4
14 369509 14292,9
15 181451 17747,3
16 262714 17225,1
17 185683 18111,0
Постройте линейное уравнение регрессии с одной объясняющей переменной.
Дайте экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Выполните корреляционный анализ, т.е. вычислите линейный коэффициент корреляции и теоретическое корреляционное отношение (индекс корреляции). Сделайте вывод о тесноте и направленности связи между Y и X.
Вычислите коэффициент детерминации. Сделайте вывод.
Выполните дисперсионный анализ. Протестируйте статистическую гипотезу о достоверности уравнения регрессии при уровне значимости α=0,05. Сделайте вывод.
Вычислите среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделайте вывод о возможности использования регрессионной модели для прогнозирования и управления.
Решение
Построим линейное уравнение регрессии с одной объясняющей переменной.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений имеет вид:
an + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y*x
Составим расчетную таблицу для определения уравнения линейной регрессии.
x y
x2 y2 x *y
17667,6 1008678 312144089,76 1017431307684 17820919432,8
13912 271236 193543744 73568967696 3773435232
16313,9 192826 266143333,21 37181866276 3145744081,4
16054,7 693054 257753392,09 480323846916 11126774053,8
14436,2 106934 208403870,44 11434880356 1543720610,8
20000,8 215760 400032000,64 46552377600 4315372608
14890,5 136074 221726990,25 18516133476 2026209897
16240,8 404965 263763584,64 163996651225 6576955572
17010,4 357104 289353708,16 127523266816 6074481881,6
28585,6 781483 817136527,36 610715679289 22339160444,8
14528,6 273121 211080217,96 74595080641 3968065760,6
16717,7 267743 279481493,29 71686314049 4476047151,1
16189,4 151175 262096672,36 22853880625 2447432545
14292,9 369509 204286990,41 136536901081 5281355186,1
17747,3 181451 314966657,29 32924465401 3220265332,3
17225,1 262714 296704070,01 69018645796 4525274921,4
18111 185683 328008321 34478176489 3362904813
∑289924,5 5859510 5126625662,87 3029338441416 106024119523,7
Для наших данных система уравнений имеет вид:
17*a + 289924,5*b = 5859510
289924,5*a + 5126625662,87*b = 106024119523,7
Домножим уравнение (1) системы на (-17054,382), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-289924,5*a -4944483174,159 *b = -99930321872,82
289924,5*a + 5126625662,87*b = 106024119523,7
Получаем:
182142488,711*b = 6093797650,88
Откуда b = 33,46
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
17a + 289924,5*b = 5859510
17a + 289924,5*33,46 = 5859510
17a = -3840267,589
a = -225898,1
Уравнение линейной регрессии принимает вид:
y = 33,46*х – 225898,1
2
. Экономическая интерпретация коэффициента регрессии b:
Увеличение среднемесячной номинальной начисленной заработной платы на 1 руб. приводит к увеличению объема выпуска продукции в среднем на 33,46 руб.
3. Выполним корреляционный анализ.
Выборочные средние определим по формулам:
x=xin=289924,517=17054,38
y=yin=585951017=344677,06
xy=xiyin=106024119523,717=6236712913,16
Выборочные дисперсии определим по формулам:
S2x=xi2n-x2=5126625662,8717-17054,382=10714258,02
S2y=yi2n-y2=302933844141617-344677,062=59394104027,58
Среднеквадратические отклонения определим по формулам:
Sx=S2(x)=10714258,02=3273,26
Sy=S2(y)=59394104027,58=243709,06
Линейный коэффициент корреляции rxy определим по формуле:
rxy=x*y- x*ySx*S(y)
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
rxy=6236712913,16-17054,38*344677,063273,26*243709,06=0,449
Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.
Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:
0,1 < rxy < 0,3: слабая;
0,3 < rxy < 0,5: умеренная;
0,5 < rxy < 0,7: заметная;
0,7 < rxy < 0,9: высокая;
0,9 < rxy < 1: весьма высокая;
В нашем случае связь между объемом выпуска продукции (Y) и среднемесячной начисленной заработной платой (X) умеренная и прямая.
4. Вычислим коэффициент детерминации по формуле:
R2=1-∑(yi-yх)2∑(yi-y)2
Для этого составим расчетную таблицу.
x
y
y(x) (yi-ycp)2 (y-y(x))2 |y - yx|:y
17667,6 1008678 365193,003 440897249883,24 414072941662,86 0,638
13912 271236 239544,826 5393589121,121 1004330484,947 0,117
16313,9 192826 319903,319 23058744065,827 16148645003,703 0,659
16054,7 693054 311231,467 121366493143,47 145788446697,26 0,551
14436,2 106934 257082,576 56521762018,768 22544595003,834 1,404
20000,8 215760 443253,053 16619608055,709 51753089221,304 1,054
14890,5 136074 272281,737 43515236150,533 18552547552,759 1,001
16240,8 404965 317457,669 3634635851,298 7657532911,692 0,216
17010,4 357104 343205,576 154428867,003 193166201,141 0,0389
28585,6 781483 730468,003 190799430247,06 2602529950,142 0,0653
14528,6 273121 260173,931 5120269554,356 167626593,809 0,0474
16717,7 267743 333412,94 5918849407,062 4312541054,124 0,245
16189,4 151175 315738,02 37443046768,945 27080987460,14 1,089
14292,9 369509 252288,3 616625302,592 13740692453,328 0,317
17747,3 181451 367859,463 26642746279,062 34748115237,812 1,027
17225,1 262714 350388,626 6717943011,709 7686840013,469 0,334
18111 185683 380027,49 25279110741,18 37769780913,212 1,047
∑289924,5 5859510 5859510 1009699768468,9 805824408415,54 9,851
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
R2=1-805824408415,541009699768468,9=0,2019 или 20,19%
Таким образом, в 20,19% случаев изменения среднемесячной номинальной заработной платы приводят к изменению объема выпуска продукции
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
