Имеются следующие данные об уровне цифровизации производственной деятельности х (%) и производительности труда у (у. е.) для 13-и однотипных предприятий:
xi
20 25,22 28 32 36,22 39 40,22 42 47 51,22 54,22 63 68,22
yi
18,22 22 25,22 28 31 34,22 39 44 48,22 50 51 53,22 59
Рассчитайте эмпирический коэффициент корреляции и сделайте заключение о наличии и виде зависимости у от х. Найдите методом наименьших квадратов прямую, соответствующую найденной зависимости. Найдите коэффициент детерминации линейной модели парной регрессии. Осуществите проверку значимости найденного уравнения парной линейной регрессии.
Решение
N=13 – объем выборки.
Рассчитаем эмпирический коэффициент корреляции по формуле
rxy=x∙y-x∙yσxσy
Промежуточные вычисления представим в виде таблицы.
i
xi
yi
xi2
yi2
xiyi
1 20 18,22 400 331,9684 364,4
2 25,22 22 636,0484 484 554,84
3 28 25,22 784 636,0484 706,16
4 32 28 1024 784 896
5 36,22 31 1311,8884 961 1122,82
6 39 34,22 1521 1171,0084 1334,58
7 40,22 39 1617,6484 1521 1568,58
8 42 44 1764 1936 1848
9 47 48,22 2209 2325,1684 2266,34
10 51,22 50 2623,4884 2500 2561
11 54,22 51 2939,8084 2601 2765,22
12 63 53,22 3969 2832,3684 3352,86
13 68,22 59 4653,9684 3481 4024,98
Сумма 546,32 503,1 25453,85 21564,562 23365,78
Найдем средние
x=xin=546,3213≈42,0246
y=yin=503,113=38,7
x2=xi2n=25453,8513≈1957,9885
y2=yi2n=21564,56213=1658,8125
xy=xiyin=23365,7813=1797,3677
Найдем средние квадратические отклонения
σx=x2-x2=1957,9885-42,02462≈13,8536
σy=y2-y2=1658,8125-38,72≈12,6934
Эмпирический коэффициент корреляции
rxy=xy-x∙yσxσy=1797,3677-42,0246∙38,713,8536∙12,6934≈0,9725
Так как rxy>0, то с ростом уровня цифровизации производственной деятельности X производительность труда Y увеличиваются (связь прямая)
. Близость коэффициента корреляции rxy к 1 указывает на тесную линейную связь между X и Y.
Можно предположить линейную зависимость между производительностью труда Y и уровнем цифровизации производственной деятельности X.
Уравнение линейной регрессии имеет вид
yx=a+bx
Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров a и b при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от теоретических yx минимальна
i=113yi-a-bxi2 →min
Для нахождения минимума воспользуемся условием первого порядка – найдем производные первого порядка и приравняем их к нулю
i=113yi-a-bxi=0i=113xiyi-a-bxi=0⟺an+bxi=yiaxi+bxi2=xiyi
Разделим обе части уравнений на объем выборки – n, получим
a+bxin=yinaxin+bxi2n=xiyin
Учитывая, что xin=x, yin=y, xi2n=x2, xiyin=xy, получим
a+bx=yax+bx2=xy⟺a=y-bxy-bxx+bx2=xy⟺a=y-bxb=xy-x∙yx2-x2
Получили формулы для расчета коэффициентов регрессии
a=y-bx; b=xy-x∙yx2-x2
Найдем коэффициенты регрессии
b=xy-x∙yx2-x2=1797,3677-42,0246∙38,71957,9885-42,02462≈0,8911
a=y-bx=38,7-0,8911∙42,0246≈1,2519
Уравнение линейной регрессии имеет вид
yx=1,2519+0,8911x
При увеличении уровня цифровизации производственной деятельности X на 1% производительность труда Y увеличивается в среднем на 0,8911 у. е.
Коэффициент детерминации
R2=rxy2=0,97252≈0,9458
Это означает, что примерно 94,58% вариации фактора производительность труда (Y) объясняется вариацией фактора уровень цифровизации производственной деятельности (X).
Проверим гипотезу H0: уравнение статистически не значимо.
Рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера
Fфакт=R21-R2∙n-2=0,94581-0,9458∙13-2≈191,952
Fтабл=4,84 - критическое значение F-критерия Фишера, нашли из таблицы распределения Фишера для уровня значимости α=0,05 и числа степеней свободы 1 и 11.
Так как Fтабл<Fфакт (4,84<191,952), то гипотеза H0 отклоняется, следовательно, модель статистически значима на уровне значимости 0,05.
Имеются следующие данные об уровне цифровизации производственной деятельности х (%) и производительности труда у (у
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
