Имеются данные за 12 месяцев года о рынке модернизации вторичного жилья (у) – стоимость ремонта и материалов

Рассмотрим модель вида: y=a+bx+ε.
Определим параметры уравнения парной линейной регрессии. Вычисления представим в таблице 2.
Таблица 2
Результаты вычислений
№ x у xy
x2
y2
1 19,40 38,10 739,14 376,36 1 451,61
2 21,00 32,60 684,60 441,00 1 062,76
3 18,20 30,00 546,00 331,24 900,00
4 22,50 29,00 652,50 506,25 841,00
5 17,50 31,20 546,00 306,25 973,44
6 18,80 27,50 517,00 353,44 756,25
7 23,50 39,00 916,50 552,25 1 521,00
8 16,40 27,50 451,00 268,96 756,25
9 25,80 36,20 933,96 665,64 1 310,44
10 20,80 28,90 601,12 432,64 835,21
11 15,20 32,40 492,48 231,04 1 049,76
12 25,80 49,70 1 282,26 665,64 2 470,09
Сумма 244,90 402,10 8 362,56 5 130,71 13 927,81
Среднее 20,41 33,51 696,88 427,56 1 160,65
Определим параметры модели:
b=xy-x×yx2-x2=696,88-20,41×33,51427,56-20,412=1,178;
a=y-b×x=33,51-1,178×20,41=9,462.
Таким образом, уравнение парной линейной регрессии имеет вид:
ŷ =9,462+1,178 ×x.
Параметр регрессии b позволяет сделать вывод, что с увеличением общей площади квартиры (х) на 1 кв. м. стоимость ремонта и материалов (у) увеличивается в среднем на 1,178 тыс. у.е. Коэффициент a = 9,462 не несет в себе экономической интерпретации.
Оценить тесноту связи по показателям корреляции и детерминации.
Рассчитаем линейный коэффициент корреляции.
rxy=xy-x×yx2-x2×y2-y2=
=696,88-20,41×33,51(427,56-20,412)×(1 160,65-33,512)=0,637.
Т.е. связь между изучаемыми переменными прямая (коэффициент корреляции положителен) линейная и заметная (по шкале Чеддока 0,5 <rxy < 0,7).
Определим коэффициент детерминации:
R2=rxy2=0,6372=0,406.
Т.е. 40,6% вариации стоимости ремонта объясняется вариацией общей площади квартиры. Остальные 59,4% приходятся на факторы, не учтенные в моделе. Качество подбора – среднее.
Вычислить средний коэффициент эластичности и оценить связь фактора с результатом.
Э=b×xy=1,178×20,4133,51=0,718.
При изменении фактора x – общей площади квартиры на 1% от своего среднего значения стоимость ремонта у изменится на 0,718% от среднего значения.
Вычислить среднюю ошибку аппроксимации и оценить качество модели.
Для расчета средней ошибки аппроксимации строим вспомогательную таблицу 3, в которой определим модельные значения у на основе полученного уравнения.
Таблица 3
Вспомогательная таблица для расчета средней ошибки аппроксимации
месяц х у y
y-y2
А x-x2
1 19,40 38,10 32,32 33,41 15,17 1,02
2 21,00 32,60 34,21 2,58 4,92 0,35
Продолжение таблицы 3
месяц х у y
y-y2
А x-x2
3 18,20 30,00 30,91 0,82 3,02 4,88
4 22,50 29,00 35,97 48,62 24,04 4,38
5 17,50 31,20 30,08 1,25 3,58 8,46
6 18,80 27,50 31,61 16,92 14,96 2,59
7 23,50 39,00 37,15 3,42 4,74 9,56
8 16,40 27,50 28,79 1,65 4,67 16,07
9 25,80 36,20 39,86 13,40 10,11 29,07
10 20,80 28,90 33,97 25,70 17,54 0,15
11 15,20 32,40 27,37 25,29 15,52 27,13
12 25,80 49,70 39,86 96,80 19,80 29,07
сумма 244,90 402,10 402,10 269,86 138,09 132,71
среднее 20,41 33,51 33,51 22,49 11,51 11,06
Средняя ошибка аппроксимации:
A=1n×y-yy×100%=11,51%.
Значение средней ошибки аппроксимации показывает, что в среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 11,51%, ошибка недопустимая (более 10%), следовательно, уравнение нежелательно использовать для прогноза.
С помощью критерия Фишера при уровне значимости а = 0,01 оценить надежность уравнений регрессии.
Для проверки значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F – критерия Фишера . Определим фактическое значение F – критерия Фишера:
Fфакт=R21-R2×n-m-1=0,40621-0,4062×12-1-1=6,827.
Поскольку табличное значение F распределения Фишера F0,01;1;10=10,044 больше расчетного, то гипотеза о статистической незначимости коэффициента регрессии должна быть принята. Коэффициент детерминации статистически незначим (найденная оценка уравнения регрессии статистически ненадежна). Полученное линейное уравнение на уровне значимости а = 0,01 статистически незначимо, ненадежно и не может быть использовано для прогноза.
Вычислить прогнозное значение yпр, если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения. Определить доверительный интервал прогноза для а = 0,01.
xпр=20,41×1,05=21,43.
Построим точечный прогноз: y = 9,462+1,178×21,43=34,711.
Таким образом, если общая площадь квартиры составит 21,43 м2, то ожидаемая стоимость ремонта составит 34,711 тыс. у.е.
Для построения доверительного интервала прогноза предварительно определим стандартную ошибку регрессии:
S=(y-y)2n-m-1=269,8612-1-1=5,195.
Табличное значение t-статистики Стьюдента: t0,01;10=3,169.
Построим 99% доверительный интервал для прогноза:
ε=tкрит×S×1+1n+xпр-x2x-x2=
=3,169×5,195×1+112+21,43-20,412132,71=17,198.
И, следовательно, границы интервала составят: 34,711±17,198
Таким образом, прогнозное значение стоимости ремонта y= 34,711 тыс. у.е., будет находиться между верхней границей, равной 34,711+17,198=51,91 тыс. у.е. и нижней границей, равной 34,711-17,198=17,51 тыс. у.е. С вероятностью 99% можно гарантировать, что значение стоимости ремонта (у) не выйдет за пределы найденного интервала, а именно (17,51 ≤ ŷ ≤ 51,91).
Рассмотрим модель вида: y=a+bx+ε.
Определим параметры уравнения парной линейной регрессии