Имеются данные об объемах производства продукции на предприятии:
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
Плитки керамические для
полов, м2
126
147
195
274
356
413
590
692
735
750
Проведите сглаживание динамического ряда методом трехзвенной скользящей средней.
Постройте линейную модель тренда, оцените ее параметры методом наименьших квадратов.
Оцените качество построенной модели и её пригодность для прогнозирования.
Постройте точечный и интервальный прогноз объема производства на 2017 и 2018
годы.
Изобразите на графике фактические уровни ряда, сглаженные уровни ряда и тренд.
Интерпретируйте полученные результаты, сделайте выводы.
Решение
Проведем сглаживание динамического ряда методом трехзвенной скользящей средней.
Метод скользящей средней состоит в замене абсолютных уровней ряда динамики их средними арифметическими значениями за определенные интервалы. Выбираются эти интервалы способом скольжения: постепенно исключаются из интервала первые уровни и включаются последующие.
Сглаживание динамического ряда представим в таблице.
Год Плитка керамическая для полов, м2
Расчет трехзвенной скользящей средней Сглаженный уровень ряда
2007 126 - -
2008 147 (126+147+195)/3 156
2009 195 (147+195+274)/3 205,33
2010 274 (195+274+356)/3 275
2011 356 (374+356+413)/3 347,67
2012 413 (356+413+590)/3 453
2013 590 (413+590+692)/3 565
2014 692 (590+692+735)/3 672,33
2015 735 (692+735+750)/3 725,67
2016 750 - -
2. Построим линейную модель тренда и оценим ее параметры методом наименьших квадратов.
Линейное уравнение тренда имеет вид y = bt + a
Находим параметры уравнения методом наименьших квадратов.
Система уравнений имеет вид:
an + b∑t = ∑y
a∑t + b∑t2 = ∑y*t
Составим расчетную таблицу для определения уравнения тренда.
t
y
t2 y2 t y
1 126 1 15876 126
2 147 4 21609 294
3 195 9 38025 585
4 274 16 75076 1096
5 356 25 126736 1780
6 413 36 170569 2478
7 590 49 348100 4130
8 692 64 478864 5536
9 735 81 540225 6615
10 750 100 562500 7500
∑ 55 4278 385 2377580 30140
Ср.знач. 427.8 38.5 237758 3014
Система уравнений имеет вид:
10a + 55b = 4278
55a + 385b = 30140
Из первого уравнения выражаем a и подставим во второе уравнение.
Получаем a = -12,93, b = 80,13
Уравнение тренда:
y = 80,13 t – 12,93
Коэффициент тренда b = 80,13 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с изменением периода времени t на единицу его измерения
. В случае с увеличением t на 1 год, объем производства плитки керамической для полов увеличится в среднем на 80,13 м2.
3. Оценим качество построенной модели и её пригодность для прогнозирования.
Для проверки значимости уравнения рассчитаем фактическое значение F-критерия Фишера. Для этого составим расчетную таблицу.
t
y
y(t) (yi-ycp)2 (yi-y(t))2
1 126 67,2 91083,24 3457,44
2 147 147,333 78848,64 0,111
3 195 227,467 54195,84 1054,084
4 274 307,6 23654,44 1128,96
5 356 387,733 5155,24 1007,004
6 413 467,867 219,04 3010,351
7 590 548 26308,84 1764
8 692 628,133 69801,64 4078,951
9 735 708,267 94371,84 714,671
10 750 788,4 103812,84 1474,56
∑ - 4278 547451,6 17690,133
Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:
R2=1-∑(yi-yt)2∑(yi-y)2
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
R2=1-17690,13547451,6=0,9677
Рассчитаем критерий Фишера по формуле:
F=R21-R2*n-m-1m
где m - количество факторов в уравнении тренда (m=1).
Подставим имеющиеся данные в формулу и произведем расчет.
F=0,96771-0,9677*10-1-11=239,57
Найдем из таблицы значение Fkp (1;8;0,05) = 5,32
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации (и в целом уравнение тренда) статистически значим.
4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
