Имеется набор из четырех карточек, на каждой из которых написана одна из цифр 1, 2, 3, 4. Из набора наугад извлекают карточку, затем ее возвращают обратно, после чего наудачу извлекают вторую карточку.
Построить ряд распределения, найти функцию распределения, математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины, равной сумме чисел, написанных на вынутых карточках.
Найти вероятность того, что эта сумма:
а) не превзойдет числа 4;
б) будет не менее 6.
Решение
Дискретная случайная величина X – сумма чисел, написанных на вынутых карточках – имеет следующие возможные значения: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Найдем вероятности этих возможных значений.
PX=2=116=0,0625; PX=3=216=0,125;
PX=4=316=0,1875; PX=5=416=0,25;
PX=6=316=0,1875; PX=7=216=0,125;
PX=8=116=0,0625
Ряд распределения случайной величины X имеет вид
xi
2 3 4 5 6 7 8
pi
0,0625 0,125 0,1875 0,25 0,1875 0,125 0,0625
Найдем функцию распределения
Fx=PX<x
При x≤2 то, Fx=X<2=0.
При 2<x≤3 то, Fx=X<3=0,0625.
При 3<x≤4 то, Fx=X<4=0,0625+0,125=0,1875.
При 4<x≤5 то, Fx=X<5=0,0625+0,125+0,1875=0,375.
При 5<x≤6 то, Fx=X<6=0,0625+0,125+0,1875+0,25=0,625.
При 6<x≤7 то, Fx=X<7=0,0625+0,125+0,1875+0,25+0,1875=0,8125.
При 7<x≤8 то, Fx=X<8=0,0625+0,125+0,1875+0,25+0,1875+0,125=0,9375.
При x>8 то, Fx=0,0625+0,125+0,1875+0,25+0,1875+0,125+0,0625=1.
Функция распределения имеет вид
Fx=0, если x≤20,0625, если 2<x≤30,1875, если 3<x≤40,375, если 4<x≤50,625, если 5<x≤60,8125, если 6<x≤70,9375, если 7<x≤81, если x>8
Математическое ожидание
MX=xipi=2∙0,0625+3∙0,125+4∙0,1875+5∙0,25+6∙0,1875+7∙0,125+8∙0,0625=0,125+0,375+0,75+1,25+1,125+0,875+0,5=5
Дисперсия
DX=MX2-MX2=xi2pi-MX2=22∙0,0625+32∙0,125+42∙0,1875+52∙0,25+62∙0,1875+72∙0,125+82∙0,0625-52=0,25+1,125+3+6,25+6,75+6,125+4-25=27,5-25=2,5
Среднее квадратическое отклонение
σX=DX=2,5≈1,5811
а) Вероятность того, что сумма не превзойдет числа 4
PX≤4=PX=2+PX=3+PX=4=0,0625+0,125+0,1875=0,375
б) Вероятность того, что сумма будет не менее 6
PX≥6=PX=6+PX=7+PX=8=0,1875+0,125+0,0625=0,375
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
