Игральный кубик подбрасывается два раза. Пусть 𝑋1 и 𝑋2 - результаты подбрасывания

Представим результаты бросков и вычислим значения случайных величин X = X1 + X2, Y = X1 - X2:
X=X1+X2
X2
1 2 3 4 5 6
X1
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Y=X1-X2
X2
1 2 3 4 5 6
X1
1 0 -1 -2 -3 -4 -5
2 1 0 -1 -2 -3 -4
3 2 1 0 -1 -2 -3
4 3 2 1 0 -1 -2
5 4 3 2 1 0 -1
6 5 4 3 2 1 0
Тогда совместное распределение случайных величин X,Y имеет вид:
Y
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
X
2
136
3
136
136
4
136
136
136
5
136
136
136
136
6
136
136
136
136
136
7 136
136
136
136
136
136
8
136
136
136
136
136
9
136
136
136
136
10
136
136
136
11
136
136
12
136
Как видно из таблицы совместного распределения (строки не пропорциональны), случайные величины – зависимы.
Числовые характеристики случайных величин X, Y удобнее вычислить, используя соответствующие характеристики случайных величин X1,X2 (равномерные дискретные распределения, причем независимые):
EX1=EX2=3,5
VarX1=VarX2=3512
Числовые характеристики случайной величины X=X1+X2:
EX=EX1+X2=EX1+EX2=3,5+3,5=7
VarX=VarX1+X2=VarX1+VarX2+2CovX1,X2=
=CovX1,X2=0=VarX1+VarX2=3512+3512=356
Числовые характеристики случайной величины Y=X1-X2:
EY=EX1-X2=EX1-EX2=3,5-3,5=0
VarY=VarX1-X2≡VarX1+X2=356
Чтобы найти ковариацию случайных величин X,Y, найдем математическое ожидание их произведения:
EXY=EX1+X2X1-X2=EX12-X22=EX12-EX22=0
Тогда ковариация случайных величин X,Y:
CovX,Y=EXY-EXEY=0-7∙0=0