Хронометраж затрат времени на сборку узла машин у n слесарей дал следующее распределение (мин.)
а) Записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда. Найти размах варьирования и разбить его на 5 интервалов. Построить гистограмму относительных частот.
б) Найти числовые характеристики выборки
x=1ni=1knixi' и Dв=1ni=1knixi'-x2=1ni=1knixi'2-x2
где xi' - середина интервалов xi'=xi+xi+12.
в) Определить доверительные интервалы для неизвестных математического ожидания mx и среднего квадратического отклонения σ, отвечающие заданной доверительной вероятности γ=0,95, в предположении, что выборка взята из нормальной генеральной совокупности;
1. Доверительный интервал для математического ожидания в случае нормального распределения
x-tγ∙sn<mx<x+tγ∙sn
где n- объем выборки, x - выборочное среднее,
s=1n-1i=1knixi'-x2
- исправленное среднее квадратическое отклонение выборки, γ - доверительная вероятность, значение параметра tγ определяется из таблицы приложений по заданному уровню значимости α=1-γ при числе степеней свободы k=n-1.
2.Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ с заданной надежностью γ s1-q<σ<s(1+q) при q<1 и 0<σ<s(1+q) при q>1, где s - исправленное среднее квадратическое отклонение, параметр q находим из таблицы приложений.
г) Проверить гипотезу о нормальном законе распределения генеральной совокупности по критерию χ2 при уровне значимости α=0,05. Вычислить наблюдаемое значение критерия Пирсона
χнабл2=i=1kni-ni'2ni'
где ni'=n∙Pi, Pi=Фzi+1-Фzi, zi=xi-xвσв, zi+1=xi+1-xвσв
Ф(х) - функция Лапласа, значения в таблице приложений. Для первого интервала левый конец устремляем в -∞ для последнего интервала правый конец стремится к ∞. По таблице (приложений) критических точек распределения χкр2 , уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=l-3 , (l -число интервалов) находим χкр2 . Если χнабл2<χкр2, то гипотеза H0 о нормальном распределении генеральной совокупности принимается, если набл χнабл2>χкр2 , то гипотеза отвергается.
14 13 10 11 4 9 12 9 11 1 5 11 14 5 12 8 10
7 12 11 12 13 6 5 4 6 8 5 8 10 7 10 12 12
11 13 16 3 13 8 6 11 5 14 12 8 10 10 12 11 12
Решение
А) На основе исходных данных построим упорядоченный дискретный вариационный ряд (в порядке возрастания по столбцам):
1 6 9 11 12 16
3 6 10 11 12
4 7 10 11 12
4 7 10 11 13
5 8 10 12 13
5 8 10 12 13
5 8 10 12 13
5 8 11 12 14
5 8 11 12 14
6 9 11 12 14
Определяем минимальное и максимальное значение признака:
xmin=1, xmax=16
Находим размах варьирования признака:
R=xmax-xmin=16-1=5
По условию задачи число групп, на которые разбиваем выборочную совокупность равна k=5
Определяем длину интервала по формуле:
h=Rk=155=3
Определяем границы интервалов и группируем данные по соответствующим интервалам. Границы интервалов xi;xi+1,i=1,2,3,…,k , получаем следующим образом: x1=xmin, xi+1=xi+h, xk=xmax
Подсчитаем значения, попадающие в каждый интервал (выделены в таблице разными цветами) и составим таблицу интервального статистического ряда
№ интервала Границы интервала (xi;xi+1]
Частота интервала
ni
Относительная частота
wi=nin
1 2 3 4
1 (1; 4]
4 0,08
2 (4;7]
10 0,20
3 (7; 10]
13 0,25
4 (10; 13]
20 0,39
5 (13;16]
4 0,08
∑
51 1
Построим гистограмму относительных частот выборки на основании 2 и 4 столбцов таблицы
б) Найдем числовые характеристики выборки
Вычислим середину каждого интервала
x1'=x1+x22=1+42=3,5
x2'=x2+x32=4+72=5,5
x3'=x3+x42=7+102=8,5
x4'=x4+x52=10+132=11,5
x5'=x5+x62=13+162=14,5
Тогда
№ интервала Границы интервала (xi;xi+1]
Середина интервала
xi'
Частота интервала
ni
1 (1; 4]
3,5 4
2 (4;7]
5,5 10
3 (7; 10]
8,5 13
4 (10; 13]
11,5 20
5 (13;16]
14,5 4
∑
51
Выборочное среднее равна
x=3,5∙4+5,5∙10+8,5∙13+11,5∙20+14,5∙451=9,09
Выборочная дисперсия равна
Dв=151∙(3,5-9,092∙4+5,5-9,092∙10+8,5-9,092∙13+
+11,5-9,092∙20+14,5-9,092∙4)=540,3551=10,60
Выборочная несмещенная (исправленная) дисперсия:
S2=nn-1Dв=5151-1∙10,60=10,812
Несмещенное (исправленное) выборочное среднее квадратическое отклонение равно
s=S2=10,812≈3,288
в) 1
. Доверительный интервал для математического ожидания в случае нормального распределения при заданной доверительной вероятности γ=0,95
x-tγ∙sn<mx<x+tγ∙sn
Найдем tγ: γ=0,95, k=51-1=50, тогда по таблице находим tγ=2,009
9,09-2,009∙3,28851<mx<9,09+2,009∙3,28851
9,09-0,925<mx<9,09+0,925
8,165<mx<10,015
8,165;10,015 - доверительный интервал для математического ожидания а при доверительной вероятности γ=0,95
2.Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ с заданной надежностью γ=0,95
По таблице находим величину qγ,n=q0,95;50=0,21<1.
Тогда доверительный интервал для среднего квадратического отклонения σ найдем по формуле:
s1-q<σ<s(1+q)
Подставляя s=3,288, q=0,21, получим
3,288∙1-0,21<σ<3,288∙(1+0,21)
3,288∙0,79<σ<3,288∙1,21
2,597<σ<3,978
2,597;3,978 - доверительный интервал для среднего квадратического отклонения
г) Выдвинем гипотезу H0: распределение генеральной совокупности X подчинено нормальному закону с параметрами xв≈x=9,09, σв≈s=3,288
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
