Груз D массой m, получив в точке А начальную скорость vA, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы один вертикальный, а другой наклонный (рис.3). На участке АВ на груз, кроме силы тяжести, действуют постоянная сила Q и сила сопротивления среды R, зависящая от скорости v груза (направлена против движения). В точке В груз, не изменяя своей скорости по модулю, переходит на участок ВС трубы, где на него, кроме силы тяжести, действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу f = 0,1) и переменная сила F , проекция которой Fx на ось задана. Принимая груз за материальную точку и зная расстояние АВ = l, найти закон движения груза на участке ВС, т. е. x = f (t ) , где x = ВD.
Дано:
m = 6кг
V0 = 14 м/с
Q = 22 H
R = 0.6 V2 H
АВ = ℓ = 5 м
Fx = -3 cos 2t
α = 60º
k = 0.1
Решение
Рассмотрим движение груза на участке АВ.
Рис.3
На рис. 3 обозначим все силы, действующие на груз.
Составим дифференциальное уравнение движения на этом участке:
m dV/dt = mg - Q – R (6)
или dV/dt = g - Q/m – R/m (6)
dV/dt = g - Q/m – 0,6V2/m
dV = (0.6/m)*(mg - Q/0.6 –V2)dt
Обозначим mg - Q/0.6 = а2, тогда(7)
dV = (0.6/m)*(а2 –V2)dt
Разделив переменные, получим
dV/(а2 –V2) = (0.6/m)*dt (8)
Проинтегрируем выражение (8)
V0VBdV/(a2 –V2) = 0t10.6/m dt . где
VB – скорость груза в точке В;
t1 – момент времени, в который груз будет находится в точке В
1/(2а)*ln|(a + VB)/(a – VB)| - 1/(2а)*ln|(a + V0)/(a – V0)| = 0.6t1/m; (9)
умножив (9) на 2а, получим
ln|(a + VB)/(a – VB)| - ln|(a + V0)/(a – V0)| = 2а*0.6t1/m , или
ln|(a + VB)/(a – VB)| = ln|(a + V0)/(a – V0)| + 2а*0.6t1/m , (10)
Для сокращения записи обозначим
b = 2a*0.6/m = 1,2a/m; с = ln|(a + V0)/(a – V0)|, тогда выражение (10)
примет вид ln|(a + VB)/(a – VB)| = с + bt1, (11)
Вычислим значения a. b. c
а = √(mg -Q/0.6) =√(6*9.81 - 22/0.6) = 4,71
b = 1,2a/m =1.2*4,71/6 = 0,942
с = ln|(a + V0)/(a – V0)| = ln|(4,71+14)/(4,71-14) = ln 2,01 = 0,7
ec=2,01
Так как а = 4,71 < V0= 14 м/c, а дробь (a + VВ)/(a – VВ) берется положительной, то можно записать, что
|(a + V0)/(a – V0)| = |(a + V0)/(V0 - a)| , /
Из (11) находим зависимость VB от t1
, |(a + VB)/(VB - a))| = ес + bt1 ;
VB= а(ес + bt1 +1)/(ес + bt1- 1)
. (12)
Для проверки вычислим значение V при t = 0
V(0)=а(ес + b*0 +1)/(ес + b*0- 1) = 4.71*(2.01+1)/(2.01 – 1) = 14 м/c = V0
Для нахождения VB значения надо знать значение t1
Так как V = dx/dt, то dx = Vdt, или
dx = а(ес + bt +1)/(ес + bt- 1) dt (13)
Проинтегрируем выражение (13)
0ldx = 0t1аec+bt1+1ec+bt1-1 dt = а0t1ec+bt1+1ec+bt1-1 dt . (14)
Введем новую переменную
у = ес + bt- 1, dy = bес + btdt; ес + bt = y + 1
dt = dy/(bес + bt). Новые пределы интегрирования
yн = ес – 1;,yв = ес + bt1 – 1;
Подставив полученные значения в (14), получим
0ldx = аec-1ec+bt1-1y+2by(y+1) dy .= =(a/b)*( ec-1ec+bt1-1yy(y+1) dy +ec-1ec+bt1-12y(y+1) dy , или (15)
ℓ = (a/b)*( ec-1ec+bt1-11y+1 dy +ec-1ec+bt1-12y(y+1) dy) (16)
ec-1ec+bt1-11y+1 dy = ln|ес + bt1 – ес |(17)
ec-1ec+bt1-12y(y+1) dy) (18)
Знаменатель в выражении (18) представим в виде
у2+у = (у + 0,5)2 – 0,52 , тогда
ec-1ec+bt1-12y(y+1) dy) =ec-1ec+bt1-12(y+0,5)2+0,52 dy) = =2*1/(2*0.5)ln|(y+0.5 - .5)/(y+0.5+0.5)|yнув = 2 ln|y/(y+1)|yнув =
= 2 ln|y/(y+1)| | yнув = 2 ln|(ес + bt1-1)/( ес + bt1) – (ес – 1)/ес|
Таким образом имеем
ℓ = (a/b)*(ln|ес + bt1 – ес | +2 ln|(ес + bt1-1)/( ес + bt1) – (ес – 1)/ес|) (19)
В уравнении (19) неизвестным является t1.
Подставим числовые значения в (19)
5 = (4,71/0,942)*(ln|е0,7+0,942t1 – е0,7 | +2 ln |(е0,7+0,942t1-1/(е0,7+0,942t1) –- (е0,7 – 1)/е0,7|
(е0,7 – 1)/е0,7 = (2,01 - 1)/2,01 = 1,504
5 = 5*(ln|2,01е0,942t1 – 2,01 | +2 ln|(2,01е0,942t1-1)/(2,01е0,942bt1) – 1,504|)
1 =; ln|2,01е0,942t1 – 2,01 | +2 ln|(2,01е0,942t1-1)/(2,01е0,942bt1) – 1,504|
Обозначив u = 2,01е0,942t1- получим
1 =; ln|u – 2,01|+2 ln|(u-1)/u – 1,504|
1 =; ln|(u – 2,01)|*((u -1)/u – 1,504)2|
е1 = (u – 2,01)|*((u -1)/u – 1,504)2
2,718 = (u – 2,01)|*((u -1)/u – 1,504)2 (20)
Решив уравнение (20) относительно u, получим
u = 9,27
Так как u = 2,01е0,942t1= 9,27, то е0,942t1= 9,27/2,01 = 4,61 (21)
Логарифмируя (21), получим
ln 4,61 = 0,942t1ln е = 0,942t1
t1 = ln 4,61/0,942 = 1,62 с
Подставив значение t1 в (12), получим
VB= а(ес + bt1 +1)/(ес + bt1- 1) = 4,71* (е0,7+0,942*1,62 +1)/( е0,7+0,942*1,62- 1) = 5,22 м/с
VB= 5,22 м/с
2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
