Грани пластины x=0 x=4 поддерживаются при нулевой температуре

Функция температуры пластины u(x,t) удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности
ut'=αuxx'',
ut'=5uxx'', 0<x<4, t>0,
(1.1)
граничным условиям
ux=0=ux=4=0,
(1.2)
и начальному условию
ut=0=φx=0, 0≤x≤2T0=7, 2<x≤4
(1.3)
Для решения начально-краевой задачи (1.1) – (1.3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать решение задачи в виде
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1.1)
Xx∙T' t=5X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на 5Xx∙T(t)
T'(t)5T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T't+5λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (1.2), получим
X0⋅Tt=0, X4⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X4=0.
(1.4)
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X4=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий (1.4)
X0=C1=0 X4=C2 sin4λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin4λ=0,
4λ=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πk42, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции
Xkx=sinπkx4, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk'(t)+5πk42Tkt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Ake-5π2k2t16.
Решение ux,t исходной задачи будем искать в виде ряда по собственным функциям
ux,t=k=1∞TktXkx=k=1∞Ake-5π2k2t16sinπkx4.
Коэффициенты Ak этого ряда найдем из начального условия (1.3)
ut=0=k=1∞Aksinπkx4=φx.
В силу полноты системы собственных функций sinπkx4k=1∞ следует, что коэффициенты Ak представляют собой коэффициенты разложения функции φx в ряд Фурье по собственным функциям sinπkx4k=1∞ на отрезке 0;4
Ak=2404φxsinπkx4dx=12247sinπkx4dx=72-4πkcosπkx424=
=-14πkcosπk-cosπk2=-14πk-1k-cosπk2=14πk-1k+1+cosπk2.
Таким образом, решение исходной начально-краевой задачи имеет вид
ux,t=14πk=1∞1k-1k+1+cosπk2e-5π2k2t16sinπkx4.
Ответ: Закон выравнивания температуры имеет вид
ux,t=14πk=1∞1k-1k+1+cosπk2e-5π2k2t16sinπkx4.