Функция полезности потребителя описывается формулой ux1 х2=х1х2

Найдем оптимальный потребительский набор в данном случае, когда предпочтения потребителя описываются функцией полезности ux1,x2=x1x2. Для этого необходимо решить систему уравнений:
u1'u2'=p1p2p1x1+p2x2=I.
Вычислим частные производные функции полезности ux1,x2=x1x2:
u1'=∂u∂x1=∂∂x1x1x2=x2
u1'=∂u∂x2=∂∂x2x1x2=x1
Подставим частные производные в первое уравнение системы, тогда система уравнений примет вид:
x2x1=p1p2p1x1+p2x2=I.
Первое уравнение системы можно записать в виде p1x1=p2x2, что означает, что в рассматриваемой задаче количества денег, затрачиваемых на каждое благо, должны быть одинаковыми. Тогда из второго уравнения следует, что расход на каждое благо составляет половину дохода потребителя:
p1x1=I2
p2x2=I2
Выражая из этих уравнений неизвестные x1 и x2, получим решение задачи потребительского выбора в случае функции полезности ux1,x2=x1x2 в виде функций спроса:
x1=I2p1, x2=I2p2. 1
а) Найдем первоначальный оптимальный потребительский набор . Для этого подставим в функции спроса (1) первоначальные цены товаров и доход потребителя.
Первоначальный оптимальный потребительский набор:
x1=I2p1=28802∙10=144, x2=I2p2=28802∙12=120, то есть 144 единиц первого и 120 единиц второго товара.
Полезность этого потребительского набора равна ux1,x2=x1x2=144∙120=17280.
б) Найдем оптимальный потребительский набор после повышения цены на первый товар, используя функции спроса (1) и учитывая новую цену на первый товар p1=1,44p1:
Оптимальный потребительский набор после повышения цены на первый товар:
x1=I2p1=28802∙14,4=100, x2=I2p2=28802∙12=120, то есть 100 единиц первого и 120 единиц второго товара. Потребление первого товара уменьшилось в 1,44 раза. Полезность потребительского набора снизилась в 1,44 раза по сравнению с первоначальным потреблением и равна ux1,x2=x1x2=100∙120=12000.
в) Для того, чтобы сохранить потребителю первоначальную полезность при новой цене первого товара p1=1,44p1 увеличим доход