Функция издержек фермера скотовода равна

Каждый фермер максимизирует свою прибыль при условии равенства предельных издержек цене соответствующего товара.
Предельные издержки скотовода равны:
MC1 = dTC1/dQ1 = d(10 + 31Q1 + 0,48Q12)/dQ1 = 0 + 31 + 0,48*2Q1 = 31 + 0,96Q1.
МС1 = Р1
31 + 0,96Q1 = 80, отсюда объем выпуска скотовода составит:
Q1 = (80 – 31)/0,96 ~ 51.
Прибыль скотовода составит:
π1 = TR1 – TC1 = P1Q1 – (10 + 31Q1 + 0,48Q12) = 80*51 – (10 + 31*51 + 0,48*512) = 4080 – 2839,5 = 1240,5 ден. ед.
Предельные издержки землевладельца равны:
MC2 = dTC2/dQ2 = d(10 + 18Q2 + 0,9Q22 + Q12)/dQ2 = 0 + 18 + 0,9*2Q2 + 0 = 18 + 1,8Q2.
МС2 = Р2
18 + 1,8Q2 = 180, отсюда объем выпуска землевладельца составит:
Q2 = (180 – 18)/1,8 = 90.
Прибыль землевладельца составит:
π2 = TR2 – TC2 = P2Q2 – (10 + 18Q2 + 0,9Q22 + Q12) = 180*90 – (10 + 18*90 + 0,9*902 + 512) = 16200 – 11521 = 4679 ден. ед.
2. Если скотовод несет ответственность за ущерб в размере t за каждую единицу выпуска, то его прибыль сократится на величину tQ1 и составит:
π1 = TR1 – TC1 – tQ1 = P1Q1 – (10 + 31Q1 + 0,48Q12) – tQ1 = 80Q1 – 10 – 31Q1 – 0,48Q12 – tQ1 = 49Q1 – 10 – 0,48Q12 – tQ1.
Скотовод максимизирует прибыль при dπ1/dQ1 = 0:
d(49Q1 – 10 – 0,48Q12 – tQ1)/dQ1 = 0
49 – 0 – 0,48*2Q1 – t = 0
49 – 0,96Q1 – t = 0, отсюда
Q1 = (49 – t)/0,96 = 51 – 1,04t.
Прибыль землевладельца, напротив, увеличится на величину tQ1 и составит:
π2 = TR2 – TC2 + tQ1 = P2Q2 – (10 + 18Q2 + 0,9Q22 + Q12) + tQ1 = 180Q2 – 10 – 18Q2 – 0,9Q22 – Q12 +tQ1 = 162Q2 – 10 – 0,9Q22 – Q12 + tQ1.
Землевладелец максимизирует прибыль при dπ2/dQ2 = 0:
d(162Q2 – 10 – 0,9Q22 – Q12 + tQ1))/dQ2 = 0
162 – 0 – 0,9*2Q2 – 0 + 0 = 0
162 – 1,8Q2 = 0, отсюда
Q2 = 162/1,8 = 90, т.е . оптимум землевладельца не изменился.
Определим оптимальный размер ущерба t с единицы посевов, который скотовод должен уплатить землевладельцу. Для этого найдем, при каком t прибыль землевладельца будет максимальна, т.е