«Foodland» - самая большая сеть бакалейных магазинов в Гонолулу, состоящая из девяти больших магазинов в различных районах города. Директор по сбыту собрал информацию о ценах и объемах продаж молока для десяти случайно выбранных недель текущего года. Эта информация была сведена в таблицу.
Директор по сбыту попросил молодого помощника, недавно закончившего Политехнический университет СПб рассчитать линейную регрессию с помощью компьютера и представить результаты генеральному директору (который слабо разбирается в регрессионном анализе!!).
1) Найти уравнение регрессии, коэффициент регрессии, среднюю квадратичную ошибку оценки, коэффициент корреляции, сумму квадратов отклонений, разбросы объяснимую и необъяснимую вариации и т.п.;
2) Объясните полученные результаты таким образом, чтобы генеральный директор смог принять решение.
Решение
1) Будем использовать следующую модель:
P=a0+a1Q+a2Q2+ε
В общем случае линейная двухфакторная регрессия имеет следующий вид:
y=a0+a1x1+a2x2+ε.
Система нормальных уравнений для этой модели:
na0+a1x1+a2x2=y,a0x1+a1x12+a2x1x2=x1y,a0x2+a1x1x2+a2x22=x2y.
В данном случае n=10, а x2=x12:
10a0+a1x1+a2x12=y,a0x1+a1x12+a2x13=x1y,a0x12+a1x13+a2x14=x12y.
Внесем результаты вспомогательных вычисления в таблицу:
y x1 x12 x13 x14 x1y x12y y2
1 2,5 11 121 1331 14641 27,5 302,5 6,25
2 3,3 6 36 216 1296 19,8 118,8 10,89
3 3,1 5 25 125 625 15,5 77,5 9,61
4 2,6 13 169 2197 28561 33,8 439,4 6,76
5 2,7 10 100 1000 10000 27 270 7,29
6 2,1 16 256 4096 65536 33,6 537,6 4,41
7 3 6 36 216 1296 18 108 9
8 2,8 12 144 1728 20736 33,6 403,2 7,84
9 2,1 18 324 5832 104976 37,8 680,4 4,41
10 2,2 20 400 8000 160000 44 880 4,84
Сумма 26,4 117 1611 24741 407667 290,6 3817,4 71,3
Среднее 2,64 11,7 161,1 2474,1 40766,7 29,06 381,74 7,13
Таким образом все сводится к системе:
10a0+117a1+1611a2=26,4,117a0+1611a1+24741a2=290,6,1611a0+24741a1+407667a2=3817,4.
Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса
10117161111716112474116112474140766726,4290,63817,4
1-ую строку делим на 10
111,7161,11171611247411611247414076672,64290,63817,4
от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 117; от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 1611
111,7161,10242,15892,305892.3148134.92,64-18.28-435.64
2-ую строку делим на 242.1
111,7161,101654726905892.3148134.92,64-91412105-435.64
от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 11.7; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 5892.3
10-3326426901654726900127140026947391345-914121052492269
3-ую строку делим на 1271400269
10-3326426901654726900147391345-91412105623317850
к 1 строке добавляем 3 строку, умноженную на 33264269; от 2 строки отнимаем 3 строку, умноженную на 6547269
10001000119949352975-117487953550623317850
a0=19949352975≈3.766, a1=-117487953550≈-0.123, a2=623317850≈0.002.
Уравнение регрессии:
P=3.766-0.123Q+0.002Q2.
Сумма квадратов отклонений расчитывается так:
(yi-yi)2.
Средняя квадратическая ошибка уравнения регрессии представляет собой среднее квадратическое отклонение наблюдаемых значений результативного признака от теоретических значений, рассчитанных по модели, т.е.:
se=(yi-yi)2n-h,
где h равно числу параметров в модели регрессии.
Расчет остатков внесем в таблицу:
Предсказание Разброс Квадрат
1 2.648 -0.148 0.0218
2 3.097 0.203 0.0412
3 3.199 -0.0987 0.00975
4 2.495 0.105 0.011
5 2.73 -0.0297 0.000882
6 2.296 -0.196 0.0385
7 3.097 -0.0971 0.00943
8 2.57 0.23 0.0531
9 2.183 -0.0831 0.0069
10 2.086 0.114 0.0131
Сумма 26.4 0 0.206
Сумма квадратов отклонений: 0.206.
Средняя квадратичная ошибка:
se=0.20610-3=0.17.
Чтобы посчитать коэффициенты корреляции нужно найти sy, sx, sx2:
sy=7,13-2,642≈0,4, sx=161,1-11,72≈4,92,
sx2=40766,7-161,12≈121,711
Тогда
ry,x=yx-y∙xsysx=29.06-2.64∙11.70.4∙4.92≈-0.928
ry,x2=yx2-y∙x2sysx2=381.74-2.64∙161.10.4∙121.711≈-0.894
Коэффициент близок по модулю к 1, поэтому связь достаточно тесная.
rx,x2=x3-x∙x2sxsx2=2474.1-11.7∙161.14.92∙121.711≈0.984
Здесь связь ожидаема, потому что это x2 и x.
Объяснимая вариация считается так:
(yi-y)2n.
Вспомогательные данные внесем в таблицу:
Предсказание yi-y Квадрат
1 2.648 0,008 0,0
2 3.097 0,457 0,209
3 3.199 0,559 0,312
4 2.495 -0,145 0,021
5 2.73 0,09 0,008
6 2.296 -0,344 0,118
7 3.097 0,457 0,209
8 2.57 -0,07 0,005
9 2.183 -0,457 0,209
10 2.086 -0,554 0,307
Сумма 26.4 0,0 1,398
(yi-y)2n=1.39810=0.1398
Необъяснимая вариация:
(yi-yi)2n=0.20610=0.0206
2) Запишем уравнение регрессии:
P=3.766-0.123Q+0.002Q2.
Это парабола и поэтому минимум у неё будет находится в вершине 0.1230.004=30.75:
P(30.75)=3.766-0.123*30.75+0.002*30.752≈1,87.
Цена на отрезке [0, 30.75] будет постепенно падать с 3.766 до 1,87.
Найдем производную, чтобы понять как ведет себя скорость уменьшения цены на отрезке [0, 30.75]:
3.766-0.123Q+0.002Q2'=-0.123+0.004Q.
Значит цена уменьшается при увеличении объема продаж, но при этом падение замедляется и затухает к Q=30.75.
Надо заметить, что при Q>30.75 цена начинает возрастать, что не очень адекватно
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
