Фирма работает по технологии отображаемой производственной функцией Q = 20L0,7К0 3

Условие равновесия фирмы:
MPL / MPK = w/r
где MPL и MPK - предельные продукты (предельная производительность) труда и капитала соответственно.
Предельный продукт ресурса – это производная производственной функции.
Мы имеем производственную функцию:
Q = 20L0,7K0,3,
Найдем функции предельных продуктов труда и капитала.
Предельный продукт труда:
MPL = Q′(L) = 20K0,3*0,7L-0,3 = 14 K0,3/ L0,3 = 14(K/L)0.3
Предельный продукт капитала:
MPK = Q′(K) = 20L0,7*0,3К-0,7= 6L0,7/ K0,7 = 6(L/K)0.7;
Отсюда:
MPL / MPK = 7К/3L = 7/3*(K/L)
По условию соотношения цен ресурсов равно:
w/r = 7/3072
Определим условие равновесия при данных ценах и данной производственной функции:
7K/3L = 7/3072
Или
K/L = 3/3072 = 1/1024
Отсюда оптимальное соотношение ресурсов:
L/К = 1024
К/ L = 1/1024
L= 1024К
K=L/1024
Формулы средней производительности ресурсов:
АPL = Q/L
АPK = Q/K
а) средняя производительность труда (продукт труда);
АPL = Q/L= (20L0,7K0,3)/L=20 K0,3/ L0.3= 20 (K/L)0.3
Отсюда в равновесии:
АPL =20*(1/1024) 0.3=2.5
б) средняя производительность капитала (продукт капитала);
АPK = Q/K = (20L0,7K0,3)/K = 10 L0.7./K0,7= 20 (L/ K)0.7
Отсюда в равновесии:
АPК =20*(1024) 0.7 = 2560
Функции предельной производительности факторов уже найдены
в) предельная производительность (продукт труда):
MPL = 14(K/L)0.3
Отсюда в равновесии:
МPL =14 *(1/1024) 0.3= 1,75
г) предельная производительность (продукт капитала):
MPK = Q′(K) = 20L0,7*0,3К-0,7= 6L0,7/ K0,7 = 6(L/K)0.7
Отсюда в равновесии:
MPK = 6*(1024) 0.7 =768
Ответ:
а) АPL =2.5
б) АPК =2560
в) МPL =1,75
г) MPK = 768