Электрон в атоме водорода.
Определить энергию первых четырех энергетических уровней. Начертить схему уровней и подуровней (различие по орбитальным квантовым числам) указав на ней возможные переходы.
Определить наибольшую (наименьшую) длину волны излучения в серии Лаймана (Бальмера, Пашена).
Если при возбуждении атома в спектре видны только три линии, то каким переходам они соответствуют? Найти длины волн этих спектральных линий.
Определить первый потенциал возбуждения атома.
Как изменился момент импульса электрона, если а) в основном состоянии электрон поглотил фотон с энергией 10,3 эВ; б) находясь в р-состоянии, электрон поглотил фотон с энергией 1,89 эВ; в) электрон находился на 3-ьем энергетическом уровне и перешел в основное состояние (учтите правила отбора).
Сколько различных состояний может быть у электрона при п = 2, (3; 4) ?
Чему будет равно максимальное значение проекции момента импульса электрона в р-состоянии (d- , f- состоянии)? Чему при этом равен угол между моментом импульса электрона и внешним магнитным полем?
Решение
Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Zе (для атома водорода Z =1):
Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией Ψ, удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что такие уравнения имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции Ψ, только при собственных значениях энергии
при n = 1, 2, 3...
т. е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.
Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками», решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Самый нижний уровень Е1, отвечающий минимальной возможной энергии, – основной, все остальные (Еn>E1, n = 2, 3,…) – возбужденные. При Е < 0 движение электрона является связанным, он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа п энергетические уровни располагаются теснее и при п=∞ Е∞= 0
. При Е > 0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е >0 соответствует ионизованному атому.
Энергия ионизации атома водорода равна
Ei = - E1 = me4 / (8h2ε02) = 13,55 эВ.
Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции Ψ, определяемые тремя квантовыми числами: главным п, орбитальным l и магнитным ml.
Главное квантовое число n, определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с единицы:
n =1, 2, 3, ...
Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический и орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые формулой
где l – орбитальное квантовое число,которое при заданном n принимает значения
l = 0, 1, ...,(n - 1)
т. е. всего п значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.
Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор Le момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция Lеz а направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные ħ
Lez = ħml,
где тl – магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения
ml = 0, ±1, ±2, ..., ± l
т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
