ЭДС источника тока ε = 2 В внутреннее сопротивление r = 1 Ом

На основании второго закона Кирхгофа запишем
rI+RI=ε,
откуда выразим сопротивление внешней цепи:
R=ε-rII.
По закону Джоуля-Ленца выделяемое на активном сопротивлении тепло равно
Q=I2Rt
или его мощность равна
P=Qt=I2R=I2ε-rII=I⋅(ε-rI)=Iε-rI2;rI2-Iε+P=0.
Решаем квадратное уравнение относительно I:
D=ε2-4rP;I=ε±ε2-4rP2r=2±22-4⋅1⋅0,752⋅1=0,5 А;  1,5 А.
Проверим, каким получается сопротивление внешней цепи при этих токах:
R=2-1⋅0,50,5=3 Ом;R=2-1⋅1,51,5=0,333 Ом.
Так как обычно сопротивление потребителя R больше внутреннего сопротивления r источника тока, то более достоверное первое значение: I = 0,5 А.
Мощность во внешней цепи:
P=I2R=εR+r2R=R(R+r)2ε2.
Исследуем зависимость P(R) на экстремум:
dPdR=(R+r)2-2(R+r)R(R+r)4⋅ε2=(R+r)-2R(R+r)3⋅ε2=r-R(R+r)3⋅ε2=0,R=r.
Максимальная мощность во внешней цепи:
Ответ: I = 0,5 А; Pmax = 1 Вт.