Движение точки задано уравнениями x =1+ cos(πt)

Согласно тригонометрической формулы: 1+ cos2α = 2·cos2α,(3), тогда, учитывая вид выражений (1) и (2), можно записать, считая, что: πt/2 = α, а πt = 2α, тогда:
{ y/2 = cos(πt/2) и cos2(πt/2) = y2/4} и значит:
x = 2·y2/4 = y2/2 или 2х = y2, (3) - это уравнение параболы - симметричной относительно координатной оси Ох, следовательно траекторией движения является - парабола.
Находим положение точки в моменты вpемени t0 = 0 и t1 =1,5 с:
x0 = 1+ cos(π·0) = 2,0 см; y0 = 2cos(π·0/2) = 2,0 см - при t0 = 0:
x1 = 1+ cos(π·1,5) = 1,0 см; y1 = 2cos(π·1,5/2) = -1,41см - при t1 = 1,5 с.
Находим проекции скоростей и ускорений точки на координатные оси, диффе - ренцируя уравнения (1) и (2):
vX = dx/dt = d[1+ cos(πt)]/dt = - π·sin(πt), (4),
vY = dy/dt = d[2cos(πt/2)] = - π·sin(πt/2), (5),
cкорость точки равна: v = (v2X + v2Y)1/2, (6) и при t1 = 1,5 c, получаем:
v1Х = - π·sin(π·1,5) = π = 3,14 см/с,
v1Y = - π·sin(π·1,5/2) = - 0,707·π = - 2,22 см/с, следовательно скорость
v1 = [v21Х + v21Y]1/2 = (3,142 + 2,222) 1/2 = 3,85 см/с.
Аналогично для ускорений:
аX = dvX /dt =d[- π·sin(πt)] /dt = - π2·cos(πt)], (7),
аY = dvY /dt = d[- π·sin(πt/2)] /dt = - (π2/2)·cos(πt/2)], (8)
полное ускорение точки равна: а = (а2X + а2Y)1/2, (9) и при t1 = 1,5 c, получаем:
a1X = - π2·cos(π·1,5) = 0,
a1Y = - (π2/2)cos(π·1,5/2) = 3,49, cледовательно,
a1 = (02 + 3,492)1/2 = 3,49 см/с2.
Касательное ускорение найдем, по формуле, которая получается путем дифферен-
цирования равенства: v2 = v2Х + v2Y, в итоге которого получаем:
aτ = dv/dt = (vx·ax + vy·ay)/v, и при t1 = 1,5 c, получаем:
a1τ = (3,14·0 - 2,22·3,49)/3,85 = - 2,01 см/с2, следовательно точка движется - замедленно.
Нормальное ускорение найдем, по формуле:
an = (a21 - a2τ)1/2 , и при t1 = 1,5 c, получаем:
a1n = (3.492 - 2,012)1/2 = 2,85 см/с2