Для заданной стальной балки при условии что P=ql и M=ql2

Определим опорные реакции:
∑mA=P·l+M+P·l -q·2l·2l+RB·3l=0
Откуда RB=18,77 кН
∑Fy=RA-P+P-q·2l+RB=0
Откуда RA=93,33 кН
Проверка:
∑mB=P·4l+M-RA·3l-P·2l+q·2l·l-M=0
Определяем внутренние усилия. Проведем сечения на каждом характерном участке и рассмотрим равновесие отсеченных частей.
center9800Участок I:
Qy=-P=-56 кН
Mz=-P·x1
x1=0 Mz=0
x1=0,8 м Mz=-56·0,8=-44,80 кН·м
Участок II:
Qy=RA-P=37,33 кН
Mz=-P·l+x2+RA·x2-M
x2=0 Mz=-P·l-M=-56·0,8-44,8=-89,60 кН·м
x2=0,8 м Mz=-P·2l+RA·l-M=-56·1,6+93,33·0,8-44,8==-59,73 кН·м
Участок III:
Qy=-RB+q·x3=-56 кН
Mz=RB·x3-q·x3·x3/2
x3=0 Qy=-RB=18,67 кН
Mz=0
x3=1,6 м Qy=-RB+q·2l=-18,67+70·1,6=93,33 кН
Mz=RB·2l-q·2l·l=-18,67·1,6+70·1,6·0,8=-59,73 кН·м
По вычисленным значениям строим эпюры внутренних усилий.
Подберем размеры поперечного сечения балки по условию прочности:
Wx≥Mxmaxσ=89,60∙103160∙106=560∙10-6 м3=560 см3
– круглое сечение:
Wx=π∙d332≥560 см3,
Отсюда
d≥332∙560π=17,9 см
Принимаем d=18 см.
A=πd24=254,5 см2
Wx=π∙d332=573 см3
- прямоугольное сечение:
Wx=b∙h26, при h=2b Wx=2∙b23
2∙b33≥560 см3
b≥33∙5602=9,44 см
Принимаем b=9,5 см, h=19 см.
A=b∙h=180,5 см2
Wx=b∙h26=572 см3
- двутавровое сечение:
из сортамента ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр с Wx>560 см3
это двутавр №33, Wx=597 см3
center62619100Для сечения балки, расположенного над опорой А, построим эпюры нормальных и касательных напряжений для всех видов сечений.
center377815600– круглое сечение:
σmax=MzWx=89,6∙103573∙10-6=156,4∙106 Па=156,4 МПа
τmax=4∙Qy3∙A=4∙37,33∙1033∙254,5∙10-4=1,96∙106 Па=1,96 МПа
- прямоугольное сечение:
σmax=MzWx=89,6∙103572∙10-6=156,6∙106 Па=156,6 МПа
τmax=3∙Qy2∙A=4∙37,33∙1033∙180,5∙10-4=3,10∙106 Па=3,10 МПа
- двутавровое сечение:
из сортамента выбираем характеристики Ix=9640 см4, Sx=339 см3, s=7 мм, t=11,2 мм, h=330 мм, b=140 мм.
σmax=MzWx=89,6∙103597∙10-6=150,08∙106 Па=150,08 МПа
τmax=Qy∙Sxs∙Ix=37,33∙103∙339∙10-67∙10-3∙9640∙10-8=18,75∙106 Па=18,75 МПаσ1=MzIxy1=89,6∙1039640∙10-8153,8∙10-3=142,95 МПа
τ1=Qy∙Sxb∙Ix=37,33∙103∙250∙10-6140∙10-3∙9640∙10-8=0,69∙106 Па=0,69 МПа
378406143319500где
Sx=b∙th2-t2=250∙10-6 м3
τ2=Qy∙Sxs∙Ix=37,33∙103∙250∙10-67∙10-3∙9640∙10-8=13,83∙106 Па=13,83 МПа
Проведем анализ напряженного состояния в точке перехода полки в стенку в зоне растяжения:
σmaxmin=σx2±σx22+τxy2=142,952±145,9522+13,832=71,48±72,80
σmax=144,28 МПа, σmin=-1,32 МПа
tg2α=2τxyσx-σy=2∙13,83142,95=0,193, 2α=12,160, α=6,080
center1016000
Определим линейное в точке 1 и угловое в сечении 2, перемещения с помощью интеграла Мора.
center79375000Для нахождения линейного перемещения в точке 1 образуем 1-ю вспомогательную систему.
Из уравнений статики найдем опорные реакции:
RA=4/3, RB=1/3.
Составим уравнения единичных моментов:
Участок I: М1=-1·х1=-х1
Участок II: М1=-1·(l+х2)+RA·х2=-l+х2/3
Участок III: М1=- RB х3=-х3/3
Подставим в интеграл Мора полученные ранее уравнения грузовых и единичных моментов и проинтегрируем их.
∆1=Mz∙M1EIxdx==12∙1011∙9640∙10-800,8-P·x1-х1dx+00,8-P·l+x2+RA·x2-M-l+х23dx+01,6RB·x3-q·x3·x3/2-х3/3dx
Решая интеграл Мора, находим Δ1=-3,076·10-3 м=-3,076 мм
center73700500Для нахождения углового перемещения в точке 2 образуем 2-ю вспомогательную систему:
Из уравнений статики найдем опорные реакции:
RA=RB=1/3l.
Составим уравнения единичных моментов:
Участок I: М2=0
Участок II: М2=RA·х2=х2/3l
Участок III: М2=- RB х3+1=-х3/3l+1
Подставим в интеграл Мора полученные ранее уравнения грузовых и единичных моментов и проинтегрируем их.
∆2=Mz∙M2EIxdx==12∙1011∙9640∙10-800,8-P·l+x2+RA·x2-Mх2/3ldx+01,6RB·x3-q·x3·x3/2-х3/3l+1dx
Решая интеграл Мора, находим Δ2=0,00101 рад.
Полученные положительные значения показывают, что перемещения происходят в направлении единичных усилий.