Для первой выборки необходимо построить доверительные интервалы для мат ожидания

А) Построение доверительных интервалов для математического ожидания, считая дисперсию неизвестной
Нам нужно сделать построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при неизвестной дисперсии.
С вероятностью P=95% (надежностью) можно утверждать, что искомое выборочное среднее принадлежит интервалу:
(X-S∙τεn-1; X+S∙τεn-1 )(1)
где
X - выборочное среднее (математическое ожидание генеральной совокупности);
S – выборочное стандартное отклонение (среднее квадратичное отклонение);
n - объем выборки;
- двустороння критическая распределения Стьюдента (T-распределения) с n-1 степенью свободы уровня доверия ε (ε=1-P= 1-0,95= 0,05)
Дисперсия выборки D= S2, выборочное стандартное отклонение (среднее квадратичное отклонение) S=D.
Расчет ведем в Excel.
Выборочное среднее X = СРЗНАЧ(B2:B26)= 9,98
Дисперсия D= ДИСП.В(B2:B26) =24,71
Выборочное стандартное отклонение (Среднее квадратичное отклонение) S= КОРЕНЬ(D) или СТАНДОТКЛОН.В(B2:B26) = 4,97
Двусторонняя критическая распределения Стьюдента = СТЬЮДЕНТ.ОБР(0,95;24)=1,711
Все вводные данные нам теперь известны, можем рассчитать доверительный интервал по формуле (1):
(9,98-4,97*1,71124; 9,98+4,97*1,71124 ) или (8,25;11,72)
Доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности при неизвестной дисперсии составляет (8,25;11,72).
1б) Построение доверительных интервалов для математического ожидания, считая дисперсию равной единице
Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности при известном стандартном отклонении δ=1.
(X-σ∙tεn; X+σ∙tεn )(2)
где
X - выборочное среднее (математическое ожидание генеральной совокупности);
δ – генеральное стандартное отклонение (среднее квадратичное отклонение);
n - объем выборки;
t - квантиль стандартного нормального распределения уровня доверия 1 - /2
ε=1-P= 1-0,95= 0,05
Расчет ведем в Excel.
Выборочное среднее X = СРЗНАЧ(B2:B26)= 9,98
Среднее квадратичное отклонение δ=1
Уровень доверия стандартного нормального распределения 1 - /2=1-0,05/2=0,975
Обратное значение стандартного нормального распределения t = =НОРМ.СТ.ОБР(0,975)=1,960
Все вводные данные нам теперь известны, можем рассчитать доверительный интервал по формуле (2):
(9,98-1*1,96025; 9,98+1*1,96025 ) или (9,59;10,38)
Доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности при известном стандартном отклонении δ=1 составляет (9,59;10,38).
Сведем наши расчеты доверительных интервалов для математического ожидания в (Табл. 1).
Таблица 1 – Выборка и расчет доверительных интервалов для математического ожидания
j хj
1 1,2
2 2,1
3 2,7
4 4,5
5 6,2
6 6,7
7 7,1
8 7,5
9 7,6
10 8,1
11 8,2
12 8,7
13 8,9
14 8,9
15 9,7
16 9,9
17 13,0
18 13,9
19 15,5
20 15,8
21 15,8
22 16,5
23 16,5
24 17,1
25 17,5
Расчет точечных данных и интервалов
Выборочное среднее (X_) 9,98
Дисперсия (S2) 24,71
Выборочное стандартное отклонение (S) 4,97
Двусторонняя критическая распределения Стьюдента (τε) 1,711
Диапазон а) 8,248
11,720
Дисперсия (δ2) 1
Квантиль стандартного нормального распределения уровня доверия 1 - ε/2 (tε) 1,960
Диапазон б) 9,592
10,376
2a) Построение доверительных интервалов для дисперсии, считая математическое ожидание неизвестным
Границы доверительного интервала для дисперсии S2 при неизвестном математическом ожидании:
(n∙S2τε+;n∙S2τε-),(3)
где
S2– дисперсия выборки;
n - объем выборки;
+, - - односторонние критические точки распределения хи-квадрат с (n-1) степенью свободы уровня доверия ε/2 и 1-ε/2 соответственно.
Расчет ведем в Excel.
Дисперсия S2= ДИСП.В(B2:B26) =37,73
Односторонняя критическая точка распределения хи-квадрат с (n-1) степенью свободы уровня доверия ε/2 + = ХИ2.ОБР(0,025;24)=12,40
Односторонняя критическая точка распределения хи-квадрат с (n-1) степенью свободы уровня доверия 1-ε/2 - = ХИ2.ОБР(0,975;24)=39,36
Все вводные данные нам теперь известны, можем рассчитать доверительный интервал по формуле (3):
(25*37,7339,36; 25*37,7312,40 ) или (23,96;76,06)
Доверительный интервал для дисперсии, считая математическое ожидание неизвестным, составляет (23,96; 76,06) с надежностью 95%, т. е. этот интервал
покрывает дисперсию (параметр S2) с надежностью 95%.
2б) Построение доверительных интервалов для дисперсии, считая мат ожидание равным 10
Границы доверительного интервала для дисперсии S2 при известном математическом ожидании α:
(n∙S2(α)tε+;n∙S2(α)tε-),(4)
где
S2(α)– дисперсия выборки с известным математическим ожиданием α;
n - объем выборки;
t+, t- - односторонние критические точки распределения хи-квадрат с n степенями свободы уровня доверия ε/2 и 1-ε/2 соответственно.
При этом вычисление дисперсии (S2(α)) при известном математическом ожидании выборки α делается по формуле:
S2(α) =1n j=1n(xj-α)2,(5)
где
α –математическое ожидание выборки;
n –объем выборки;
xj – элемент выборки.
Расчет ведем в Excel .
Сумма j=1n(xj-α)2 =989,83
Дисперсия S2=989,83/25 =39,59
Односторонняя критическая точка распределения хи-квадрат с n степенями свободы уровня доверия ε/2 + = ХИ2.ОБР(0,025;25)=13,12
Односторонняя критическая точка распределения хи-квадрат с n степенями свободы уровня доверия 1-ε/2 - = ХИ2.ОБР(0,975;25)=40,65
Все вводные данные нам теперь известны, можем рассчитать доверительный интервал по формуле (3):
(25*39,5940,65; 25*39,5913,12 ) или (24,35;75,45)
Доверительный интервал для дисперсии при известном математическом ожидании α =10 составляет (24,35; 75,45) с надежностью 95%, т. е. этот интервал покрывает дисперсию (параметр S2) с надежностью 95%.
Сведем наши расчеты доверительных интервалов для дисперсии в (Табл. 2).
Таблица 2 – Выборка и расчет доверительных интервалов для дисперсии
j хj
хj-α (хj-α)2
1 3,3 -6,70 44,89
2 4,2 -5,80 33,64
3 5,5 -4,50 20,25
4 5,7 -4,30 18,49
5 6,2 -3,80 14,44
6 7,6 -2,40 5,76
7 8,1 -1,90 3,61
8 8,3 -1,70 2,89
9 8,5 -1,50 2,25
10 9,2 -0,80 0,64
11 9,5 -0,50 0,25
12 9,5 -0,50 0,25
13 9,7 -0,30 0,09
14 11,2 1,20 1,44
15 11,9 1,90 3,61
16 12,6 2,60 6,76
17 12,7 2,70 7,29
18 12,8 2,80 7,84
19 13,0 3,00 9,00
20 14,9 4,90 24,01
21 19,3 9,30 86,49
22 21,0 11,00 121,00
23 22,5 12,50 156,25
24 22,5 12,50 156,25
25 26,2 16,20 262,44
сумма     989,83
Расчет точечных данных и интервалов
Параметр Значение
Дисперсия (S2) 37,73
Односторонняя критическая точка распределения хи-квадрат с (n-1) степенью свободы уровня доверия ε/2 (τε+) 12,40
Односторонняя критическая точка распределения хи-квадрат с (n-1) степенью свободы уровня доверия 1-ε/2 (τε-) 39,36
Диапазон а) 23,96
76,06
Математическое ожидание (α) 10,00
Дисперсия (S2(α)) 39,59
Односторонняя критическая точка распределения хи-квадрат с n степенями свободы уровня доверия ε/2 (tε+) 13,12
Односторонняя критическая точка распределения хи-квадрат с n степенями свободы уровня доверия 1-ε/2 (tε-) 40,65
Диапазон б) 24,35
75,45
3а) Проверка гипотезы о нормальности первой выборки
Сгруппируем нашу выборку по 5 интервалам. В каждом из полученных 5 интервалов проведем подсчет количества наблюдений (ni) исходного распределения выборки, попавших в эти интервалы (Табл. 3).
Таблица 3- Группировка 1-й выборки
xi
Границы интервалов xi
Количество наблюдений ni
zi-1 zi
1,2 0 4 3
2,1 0 4
2,7 0 4
4,5 4 8 6
6,2 4 8
6,7 4 8
7,1 4 8
7,5 4 8
7,6 4 8
8,1 8 12 7
8,2 8 12
8,7 8 12
8,9 8 12
8,9 8 12
9,7 8 12
9,9 8 12
13,0 12 16 5
13,9 12 16
15,5 12 16
15,8 12 16
15,8 12 16
16,5 16 20 4
16,5 16 20
17,1 16 20
17,5 16 20
25
Решение о принятии или отвержении гипотезы принимается после вычисления статистики (χ2):
χ2 =i=1k(ni-n∙pi)2n∙pi,(6)
где
n – объем выборки;
ni – количество наблюдений в i-м интервале;
pi - теоретическая вероятность попадания в i-й интервал.
Теоретическая вероятность попадания в i-й интервал (pi):
pi = F((zi-Xср)/S)- F((zi-1-Xср)/S),(7)
где
zi-1,zi – границы i-го интервала;
Xср – среднее значение выборки х;
S – среднеквадратическое отклонение выборки x.
F(y) -  интегральная функция распределения случайной величины y, вероятность того, что случайная величина окажется меньше нижней границы заданного интервала.
Сведем расчет χ2 – статистики согласно формул (7) и (6) в (Табл. 4).
Таблица 4 – Расчет χ2 – статистики
Границы интервалов xi
Количество наблюдений ni
Промежуточный. расчет параметров Интегральная функция распределения на границах интервалов Вероятность попадания в i-й интервал (pi), к6-к7 ni-npi
(ni-npi)2 /npi
zi-1 zi
(zi-Xср)/S (zi-1-Xср)/S Ф(к1) Ф(к2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 4 3 -1,20 -2,01 0,1143 0,0223 0,0920 0,70 0,21
4 8 6 -0,40 -1,20 0,3449 0,1143 0,2306 0,24 0,01
8 12 7 0,41 -0,40 0,6575 0,3449 0,3126 -0,81 0,08
12 16 5 1,21 0,41 0,8869 0,6575 0,2294 -0,74 0,09
16 20 4 2,01 1,21 0,9780 0,8869 0,0911 1,72 1,30
Итого 25         0,9557   1,70
Среднее (X ср) 9,98
Ср