Для исследования полученных данных необходимо выполнить следующее:
1. Составить интервальный статистический ряд значений признака Х, разбив весь диапазон наблюдаемых значений на 5-7 интервалов (6)
2. Построить гистограмму и полигон относительных частот полученных измерений.
3. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
4. Вычислить среднее арифметическое выборки, выборочную дисперсию, выборочное среде квадратическое отклонение, выборочные коэффициенты асимметрии и вариации, эксцесс.
5. Сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.
6. Проверить согласия эмпирической функции распределения с выбранным законом распределения с помощью критерия согласия.
7. Найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения с доверительной вероятностью 0,95.
8. Найти необходимый объем выборки для уменьшения предельной ошибки в два раза, учитывая, что проводилась случайная повторная выборка.
Решение
Исследование статистических данных начнѐм с группировки, т.е. с разбиения всех наблюденных значений непрерывной случайной величины Х из табл. А на 6 интервалов длиной:
∆x=xmax-xmins=8,1-5,16=0,5
За начало первого интервала примем: x1=xmin-∆x2=5,1-0,52=4,85, а конец последнего: x7=xmax=8,11.
В результате получим интервальный ряд :
Интервал xi;xi+1
Частота mi
Относительная частота ωi=min
ωi∆x
xi*=xi-1+xi2
4,85 – 5,35 2 0,04 0,08 5,1
5,35 – 5,85 1 0,02 0,04 5,6
5,85 – 6,35 4 0,08 0,16 6,1
6,35 – 6,85 11 0,22 0,44 6,6
6,85 – 7,35 20 0,4 0,8 7,1
7,35 – 8,1 12 0,24 0,48 7,725
∑ 50 1
2. Для того, чтобы составить предварительное представление о характере распределения значений случайной величины Х, построим еѐ гисто
грамму и полигон относительных частот.
3. Найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.
Эмпирическая функция распределения находится по формуле:
F*x=nxn
nx – количество наблюдений(вариантов) меньших х.
n - объем выборки.
Найдем эмпирическую функцию:
F*x≤4,85=0
F*4,85<x≤5,35=0,04
F*5,35<x≤5,85=0,06
F*5,85<x≤6,35=0,14
F*6,35<x≤6,85=0,36
F*6,85<x≤7,35=0,76
F*x>7,35=1
Тогда эмпирическая функция распределения имеет вид:
F*x=0, если x≤4,850,04, если 4,85<x≤5,350,06, если 5,35<x≤5,850,14, если 5,85<x≤6,350,36, если 6,35<x≤6,850,76, если 6,85<x≤7,351, если x>7,35
Построим эмпирическую функцию распределения
4. Для нахождения выборочной средней xв, выборочной дисперсии Dв , выборочного среднего квадратического отклонения σв (статистические аналоги соответствующих числовых характеристик случайной величины) заполним вспомогательную таблицу.
i
xi*
mi
xi*mi
xi*-xв2
xi*-xв2mi
1 5,1 2 10,2 3,423 6,845
2 5,6 1 5,6 1,823 1,823
3 6,1 4 24,4 0,723 2,890
4 6,6 11 72,6 0,123 1,348
5 7,1 20 142 0,022 0,450
6 7,725 12 92,7 0,601 7,207
∑
50 347,5
20,563
Находим среднее арифметическое выборки:
xв=M*X=1ni=16xi*mi=347,550=6,95
Находим выборочную дисперсию:
Dв=1ni=16xi*-xв2mi=20,56350=0,411
Найдем среднее квадратическое отклонение
σв=Dв=0,411≈0,64
Найдем исправленное среднее квадратическое отклонение
s=nn-1∙Dв=5050-1∙0,411≈0,648
Вычислим коэффициент вариации
V*=σвxв∙100%=0,646,95∙100%≈9,2%
Поскольку V*≤30%, то совокупность однородная, а вариация слабая
.
Для вычисления коэффициента ассиметрии и эксцесса составим расчетную таблицу
i
xi*
mi
xi*-xв3mi
xi*-xв4mi
1 5,1 2 -12,663 23,427
2 5,6 1 -2,460 3,322
3 6,1 4 -2,457 2,088
4 6,6 11 -0,472 0,165
5 7,1 20 0,067 0,010
6 7,725 12 5,586 4,329
∑
50 -12,398 33,341
Выборочный центральный момент 3-го порядка вычислим по формуле:
μ3*=1ni=16xi*-xв3mi=-12,39850=-0,248
Находим выборочный коэффициент ассиметрии:
as*=μ3*σв3=-0,2480,643≈-0,946
Так как as*<0 свидетельствует о левосторонней ассиметрии.
Выборочный центральный момент 4-го порядка вычислим по формуле:
μ4*=1ni=16xi*-xв4mi=-12,39850≈0,667
Находим выборочный коэффициент эксцесса:
εk*=μ4*σв4-3=0,6670,644-3≈3,975-3=0,975
Поскольку εk*>0, то распределение более островершинное (вытянутое), чем нормальное.
5. Сделать предварительный выбор закона распределения случайной величины Х.
Для предварительного выбора закона распределения используют коэффициенты асимметрии, эксцесс и их средние квадратичные отклонения:
Еas*=6(n-2)n+1(n+3)=6∙(6-2)6+1(6+3)≈0.617
В анализируемом ряду распределения наблюдается несущественная асимметрия -0,940,617=1,52<3
Еεk*=24∙n-2(n-3)n+12n+3(n+5)=24∙6-2(6-3)6+126+3(6+5)≈0.6
Поскольку Еεk*<3, то отклонение от нормального распределения считается не существенным.
А так же для нормального закона распределения должны выполняться неравенства: as*<3Еas* и εk*<3Еεk*
В нашем случае: -0,946<3∙0.617=1,85 и 0,975<3∙0,6=1,8
На основании полученных результатов можно предположить, что случайная величина X распределена по нормальному закону с плотностью вероятности:
fx=10,642π∙e-(x-6,95)22∙0,642
Тогда интегральную функцию распределения можно записать в
Fx=12+Фx-6,950,64
Здесь xв=6,95 - точечная оценка параметра а, а σв=0,64 - параметра σ
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
