Для электрической схемы выполнить следующее:
Написать систему уравнений для расчета неизвестных токов в ветвях при помощи законов Кирхгофа (решать эту систему уравнений не следует).
Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.
Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.
Результаты расчета токов, выполненного двумя методами, свести в таблицу и сравнить их между собой.
Применяя теорему об эквивалентном генераторе (активном двухполюснике), определить ток в одной (любой) из ветвей.
Составить баланс мощностей.
Построить потенциальную диаграмму для любого замкнутого контура, включающего в себя обе ЭДС.
Дано: Е2=110 В, Е3=220 В, r2=1 Ом, r3=2 Ом, R1=5 Ом, R2=4 Ом, R3=3 Ом, R4=8 Ом, R5=10 Ом, R6=12 Ом.
Рис.1.1. Расчетная схема
Решение
Обозначим на заданной схеме узлы, условно-положительные направления токов в ветвях, независимые контура (рис.1.1.).
1. Составляем уравнения при помощи законов Кирхгофа
В схеме четыре узла (1, 2, 3,4), шесть ветвей, следовательно, для определения токов в ветвях по законам Кирхгофа необходимо составить систему из шести уравнений для неизвестных токов и решить её. Число уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть равно трем (количество узлов без единицы), а остальные три уравнения записываются по второму закону Кирхгофа для трех неизвестных контуров I, II, III. Например, если направление обхода выбрать по часовой стрелке, то система уравнений по законам Кирхгофа запишется как
-I1+I5-I6=0-для узла 1I1-I2+I3=0-для узла 2-I3-I4+I6=0-для узла 3-I5R5-I4R4-I6(R6+r3)=-E3-для контура II1(R1+r2)+I2R2+I5R5=E2-для контура II-I2R2-I3R3+I4R4=0-для контура III
После подстановки значений получим:
-I1+I5-I6=0I1-I2+I3=0-I3-I4+I6=0-10I5-8I4-14I6(=-2206I1+4I2+10I5=110-4I2-3I3+8I4=0
2. Решаем методом контурных токов
Обозначаем на схеме контурные токи (I11, I22, I33) в контурах (рис.1.1), направления обхода контуров (например, по часовой стрелке) и составляем уравнения для имеющихся в схеме трех независимых контуров
Система уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для контурных токов, для рассматриваемой цепи имеет вид:
I11R4+R5+R6+r3-I22R5-I33R4=-E3-I11R5+I22R1+R2+R5+r2-I33R2=E2-I11R4-I22R2+I33R2+R3+R4=0
После подстановки исходных данных имеем
I118+10+12+2-10I22-8I33=-220-10I11+I225+4+10+1-4I33=110-8I11-4I22+I334+3+8=0
Упрощаем
32I11-10I22-8I33=-220-10I11+20I22-4I33=110-8I11-4I22+15I33=0
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как
Где из составленной выше системы уравнений собственные контурные сопротивления, определяемые суммой сопротивлений приемников в каждом контуре:
R11=R4+R5+R6+r3=32 Ом; R22=R1+R2+R5+r2=20 Ом;R33=R2+R3+R4=15 Ом
Смежные контурные сопротивления, определяемые сопротивлениями приемников, содержащихся в ветви, смежной для двух контуров, составляют:
R12=R21=-R5=-10 Ом;
R13=R31=-R4=-8 Ом;
R23=R32=-R2=-4 Ом
Находим
∆=32-10-8-1020-4-8-415=32∙20∙15+-10∙-4∙-8+-10∙-4∙-8--8∙20∙-8--10∙-10∙15--4∙-4∙32=9600-320-320-1280-1500-512=5668
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
Находим контурные токи
I11=∆11∆=-424605668=-7,491 А
I22=∆22∆=57205668=1,009 А
I33=∆33∆=-211205668=-3,726 А
Найдем реальные токи в ветвях по величине и направлению:
I1=I22=1,009 A
I2=I22-I33=1,009-(-3,726)=4,735 A
I3=-I33=3,726 A
I4=I33-I11=-3,726-(-7,491)=3,765 A
I5=I22-I11=1,009-(-7,491)=8,5 A
I6=-I11=7,491 A
Все токи получились положительными, значит в действительности они направлены согласно их обозначенному направлению на рис.1.1.
3
. Решаем методом узловых потенциалов
Потенциал узла 4 мысленно принимаем равным нулю. Тогда система уравнений, составленная по методу узловых потенциалов для данной цепи, в общем виде имеет вид:
φ1g11+φ2g12+φ3g13=J11φ1g21+φ2g22+φ3g23=J22φ1g31+φ2g32+φ3g33=J33
Подсчитываем проводимости ветвей
g11=1R1+r2+1R5+1R6+r3=15+1+110+112+2=0,33810 См
g22=1R1+r2+1R2+1R3=15+1+14+13=0,75 См
g33=1R3+1R4+1R6+r3=13+18+112+2=0,52976 См
g12=g21=-1R1+r2=-15+1=-0,16667 См
g13=g31=-1R6+r3=-112+2=-0,07143 См
g23=g32=-1R3=-13=-0,33333 См
Определяем значения узловых токов:
J11=-E2R1+r2-E3R6+r3=-1105+1-22012+2=-34,04762 A
J22=E2R1+r2=1105+1=18,33333 A
J33=E3R6+r3=22012+2=15,71429 A
Подставляем полученные данные в составленную выше систему уравнений и
после получим систему вида:
0,33810φ1-0,16667φ2-0,07143φ3=-34,04762-0,16667φ1+0,75φ2-0,33333φ3=18,33333-0,07143φ1-0,33333φ2+0,52976φ3=15,71429
Решаем методом Крамера как и в методе контурных токов
Находим
Определяем потенциалы
φ1=∆11∆=-5,9746730,070288=-85,00275 B
φ2=∆22∆=1,3313370,070288=18,94117 B
φ3=∆33∆=2,1170640,070288=30,11985 B
Определяем токи в ветвях по рис.1.1:
I1=φ1-φ2+E2R1+r2=-85,00275-18,94117+1105+1=1,009 А
I2=φ2-φ4R2=18,94117-04=4,735 А
I3=φ3-φ2R3=30,11985-18,941173=3,726 А
I4=φ3-φ4R4=30,11985-08=3,765 А
I5=φ4-φ1R5=0-(-85,00275)10=8,5 А
I6=φ1-φ3+E3R6+r3=-85,00275-30,11985+22012+2=7,491 А
4.Сравним значения токов, вычисленными двумя методами
Значения токов I1
I2
I3
I4
I5
I6
Метод контурных токов 1,009
4,735
3,726
3,765
8,5
7,491
Метод узловых потенциалов 1,009
4,735
3,726
3,765
8,5
7,491
Полученные значения токов в обоих методах совпадают.
5
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
