Для электрической схемы выполнить следующее:
1.Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы.
2.Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.
3.Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.
4.Результаты расчета токов, проведенного двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой.
5.Составить баланс мощности в схеме, вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).
6.Вычисления необходимо сделать в одном из программных продуктов: Mathcad, Wolfram Cloud, Matlab.
Дано:
R1=6 Ом;
R2=17,5 Ом;
R3=11 Ом;
R4=3 Ом;
R5=5 Ом;
R6=7,5 Ом;
E2=6,5 В;
E3=6 В;
Iк2=0,2 А
Iк3=0
Решение
1. Источник тока Iк2 может быть преобразован в источник ЭДС. При этом, полученный источник будет соединен последовательно с источником ЭДС E2. Выполняем преобразование:
E2'=Iк2R2+E2=0,2∙17,5+6,5=10 В
Схема после преобразования имеет вид:
Число узлов у=4, количество ветвей с неизвестными токами в=6. Задаемся положительными направлениями токов.
По первому закону Кирхгофа составляется у-1=4-1=3 уравнения, по второму закону Кирхгофа в-у-1=6-4-1=3 уравнения:
I3-I4-I6=0a-I1-I2+I6=0bI2+I4-I5=0cI2R2-I4R4+I6R6=E2'II1R1-I2R2-I5R5=-E2'III3R3+I4R4+I5R5=E3III
Считаем, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток I11, I22, I33. Произвольно задаем направление контурных токов.
2. Составляем систему уравнений по МКТ в общем виде (по второму закону Кирхгофа):
I11R11-I22R12-I33R13=E11-I11R21+I22R22-I33R23=E22-I11R31-I22R32+I33R33=E33
Определяем суммарные сопротивления контуров, взаимные сопротивления контуров и алгебраические суммы ЭДС контуров:
R11=R2+R4+R6=17,5+3+7,5=28 Ом
R22=R1+R2+R5=6+17,5+5=28,5 Ом
R33=R3+R4+R5=11+3+5=19 Ом
R12=R21=R2=17,5 Ом
R13=R31=R4=3 Ом
R23=R32=R5=5 Ом
E11=E2'=10 В
E22=-E2'=-10 В
E33=E3=6 В
Подставим найденные значения в систему уравнений:
28I11-17,5I22-3I33=10-17,5I11+28,5I22-5I33=-10-3I11-5I22+19I33=6
Записываем полученную систему в матричной форме:
A∙X=B,
где X – вектор столбец неизвестных (контурных токов), A – матрица коэффициентов, B – вектор столбец свободных членов.
28-17,5-3-17,528,5-5-3-519∙I11I22I33=10-106
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся ПО Mathcad:
Таким образом, контурные токи:
I11=0,347 А
I22=-0,076 А
I33=0,35 А
Выразим токи в ветвях через контурные токи:
I1=I22=-0,076 А
I2=I11-I22=0,347--0,076=0,423 А
I3=I33=0,35 А
I4=-I11+I33=-0,347+0,35=0,003 А
I5=-I22+I33=--0,076+0,35=0,427 А
I6=I11=0,347 А
3
. Заземлим узел «d».
Потенциал узла «d»:
φd=0.
Для оставшихся узлов запишем систему уравнений по МУП в общем виде (по первому закону Кирхгофа):
Gaaφa-Gabφb-Gacφc=Iaa-Gbaφa+Gbbφb-Gbcφc=Ibb-Gcaφa-Gcbφb+Gccφc=Icc
Вычислим собственные проводимости узлов:
Gaa=1R3+1R4+1R6=111+13+17,5=0,557576 См
Gbb=1R1+1R2+1R6=16+117,5+17,5=0,357143 См
Gcc=1R2+1R4+1R5=117,5+13+15=0,590476 См
Общие проводимости узлов:
Gab=Gba=1R6=17,5=0,133333 См
Gac=Gca=1R4=13=0,333333 См
Gbc=Gcb=1R2=117,5=0,057143 См
Узловые токи:
в узле «a»: Iaa=E3R3=611=0,545455 А
в узле «b»: Ibb=-E2'R2=-1017,5=-0,571429 А
в узле «c»: Icc=E2'R2=1017,5=0,571429 А
Подставим найденные значения в систему уравнений:
0,557576φa-0,133333φb-0,333333φc=0,545455-0,133333φa+0,357143φb-0,057143φc=-0,571429-0,333333φa-0,057143φb+0,590476φc=0,571429
Записываем полученную систему в матричной форме:
0,557576-0,133333-0,333333-0,1333330,357143-0,057143-0,333333-0,0571430,590476∙φaφbφc=0,545455-0,5714290,571429
A∙X=B,
где X – вектор столбец неизвестных (узловых потенциалов), A – матрица коэффициентов, B – вектор столбец свободных членов.
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся ПО Mathcad:
Таким образом, потенциалы узлов:
φa=2,145 В
φb=-0,458 В
φc=2,134 В
По закону Ома определяем токи в ветвях:
I1=φb-φdR1=-0,458-06=-0,076 А
I2=φb-φc+E2'R2=-0,458-2,134+1017,5=0,423 А
I3=φd-φa+E3R3=0-2,145+611=0,35 А
I4=φa-φcR4=2,145-2,1343=0,003 А
I5=φc-φdR5=2,134-05=0,427 А
I6=φa-φbR6=2,145--0,4587,5=0,347 А
4
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
