Для электрической цепи переменного тока

Расчетная схема:
Определим токи в ветвях.
Рассчитаем индуктивные сопротивления:
XL2=2∙π∙f∙L2=2∙3,14∙80∙22∙10-3=11,053 (Ом)
XL3=2∙π∙f∙L3=2∙3,14∙80∙25∙10-3=12,56 (Ом)
XС1=12∙π∙f∙С1=12∙3,14∙80∙0,2∙10-3=9,952 (Ом)
XС2=12∙π∙f∙С2=12∙3,14∙80∙0,27∙10-3=7,372 (Ом)
XС4=12∙π∙f∙С4=12∙3,14∙80∙0,24∙10-3=8,294 (Ом)
Рассчитаем комплексные сопротивления ветвей:
Z1=R1-jXС1=15-j9,952 (Ом)
Z2=jXL2-XС2=j11,053-7,372=j3,681 (Ом)
Z3=jXL3=j12,56 (Ом)
Z4=R4-jXС4=31-j8,294 (Ом)
Z3 и Z4 соединены параллельно:
Z34=Z3∙Z4Z3+Z4=j12,56∙(31-j8,294)j12,56+31-j8,294=5+j11,873 (Ом)
Общее (эквивалентное) сопротивление всей схемы:
Z Э=Z1+Z2+Z34=15-j9,952+j3,681+5+j11,873=
=20+j5,6=20,764∙ej15,7° (Ом)
Ток в неразветвлённой части схемы:
I1=UZ Э=210∙e-j60°20,764∙ej15,7°=10,114∙e-j75,7°=2.507-j9.8 (A)
Напряжение между узлами a и b:
Uab=I1·Z34=2.507-j9.8·5+j11,873=128.848-j19.173=
=130,267∙e-j8,5° (B)
Токи в ветвях:
I2=UabZ3=128.848-j19.173j12,56=-1.527-j10.259=10,372∙e-j98,5°(A)
I3=UabZ4=128.848-j19.17331-j8,294=4.033+j0.461=4.059∙ej6,5°(A)
Проверка:
I1=I2+I3=-1.527-j10.259+4.033+j0.461=2.506-j9.798
Векторная диаграмма токов для узла a :
Построим векторную диаграмму напряжений для внешнего контура схемы.
Для этого определим напряжения на всех элементах контура.
Напряжение резисторе R1:
UR1=I1∙R1=2.507-j9.8∙15=37.6-j146.972= 151.705∙e-j75,7° (B)
Напряжение на конденсаторе С1:
UС1=I1∙-jXС1=2.507-j9.8∙-j9,952=-97.513-j24.947=
= 100.654∙e-j165,7° (B)
Напряжение на конденсаторе С2:
UС2=I1∙-jXС2=2.507-j9.8∙-j7,372=-72.232-j18.479=
= 74.558∙e-j165,7° (В)
Напряжение на катушке L2:
UL2=I1∙jXL2=2.507-j9.8∙j11,053=108.297+j27.706=
= 111.784∙ej14,4° (В)
Напряжение резисторе R4:
UR4=I3∙R4=4.033+j0.461∙31=125.029+j14.276=
= 125.841∙ej6,5° (В)
Напряжение на конденсаторе С4:
UС4=I3∙-jXС4=4.033+j0.461∙-j8,294=3.819-j33.449=
= 33.667∙e-j83,5° (В)
Векторная диаграмма напряжений для внешнего контура схемы:
Проверка:
U=UR1+UС1+UR4+UС4+UL2+UС2=
=37.6-j146.972-97.513-j24.947+125.029+j14.276+
+3.819-j33.449+108.297+j27.706±72.232-j18.479=
=105-j181.865=210∙e-j60° (В)
Напряжение на катушке L3:
UL3=I2∙jXL3=-1.527-j10.259∙j12,56=128.848-j19.173=
= 130.267∙e-j8,5° (В)
Рассчитаем полную S мощность источника:
S=U∙I1*=P+jQ
Где U - комплексное напряжение на входе цепи,
I1*- сопряженный комплексный ток на входе цепи
S=U∙I1*=210∙e-j60°·10,114∙ej75,7°=2123.871∙ej15,7°=
=2045.136+j572.926 (BA)
Вещественная часть комплексной мощности — это активная мощность P = 2045.136 (Вт), а мнимая – это реактивная мощность Q = 572.926 (ВАр) .
Модуль комплексной мощности – это и есть полная мощность S:
S=2045.1362+572.9262=2123.871 ВА
Мощности пассивных элементов цепи:
- активная мощность резисторов
SR1=PR1=UR1∙I1*=151.705∙e-j75,7°·10,114∙ej75,7°=1534.295(Bт)
SR4=PR4=UR4∙I3*=125.841∙ej6,5°·4.059∙e-j6,5°=510.841(Bт)
- реактивная мощность конденсаторов
SС1=QC1=UC1∙I1*=100.654∙e-j165,7°·10,114∙ej75,7°=
=1017.977∙e-j90°=-j1017.977(BAp)
SС2=QC2=UC2∙I1*=74.558∙e-j165,7°·10,114∙ej75,7°=
=754.057∙e-j90°=-j754.057(BAp)
SС4=QC4=UC4∙I3*=33.667∙e-j83,5°·4.059∙e-j6,5°=
=136.667∙e-j90°=-j136.667(BAp)
- реактивная мощность катушек индуктивности
SL2=QL2=UL2∙I1*=111.784∙ej14,4°·10,114∙ej75,7°=
=1130.55∙ej90°=j1130.55(BAp)
SL3=QL3=UL3∙I2*=130.267∙e-j8,5°·10,372∙ej98,5°=
=1351.077∙ej90°=j1351.077(BAp)
Активная мощность всех приёмников:
P=PR1+PR4=1534.295+510.841=2045.136 (Вт)
Реактивная мощность всех приёмников:
Q=QC1+QC2+QC4+QL2+QL3=
=-j1017.977-j754.057-j136.667+j1130.55+j1351.077=
=j572.926 (Вт)
Выполняется баланс мощностей – активная мощность источника равна активной мощности всех приёмников, реактивная мощность источника равна реактивной мощности всех приёмников.
Рассчитаем резонансную частоту при условии нахождения в схеме только реактивных элементов:
Условия резонанса:
- реактивное сопротивление цепи  Х=0 (резонанс напряжений)
- реактивное сопротивление цепи  Х= ∞ (резонанс токов).
Поэтому у разветвленной цепи может быть несколько резонансных частот.
Сопротивление данной цепи можно определить по выражению:
X=-jXС1-jXС2+jXL2+jXL3∙-jXС4jXL3-jXС4=
=-jω∙С1-jω∙С2+jω∙L2+jω∙L3∙-jω∙С4jω∙L3-jω∙С4=
=j-1ω∙С1-1ω∙С2+ω∙L2+ω∙L3jω2∙С4∙L3-j=
=jω2∙L2∙С1∙С2-С2-С1ω∙С1∙С2+ω∙L3jω2∙С4∙L3-j=
=jω2∙L2∙С1∙С2-С2-С1ω∙С1∙С2-jω∙L3ω2∙С4∙L3-1=
=jω2∙L2∙С1∙С2-С2-С1ω∙С1∙С2-ω∙L3ω2∙С4∙L3-1=
=jω4∙L2∙С1∙С2∙С4∙L3-ω2∙L2∙С1∙С2-С2∙ω2∙С4∙L3+С2-С1∙ω2∙С4∙L3+С1-ω2∙С1∙С2∙L3ω∙С1∙С2∙ω2∙С4∙L3-1
Данное выражение обеспечит Х=0 (резонанс напряжений), если числитель этой дроби будет равен нулю:
ω4∙L2∙С1∙С2∙С4∙L3-ω2∙L2∙С1∙С2-С2∙ω2∙С4∙L3+С2-С1∙ω2∙С4∙L3+С1-ω2∙С1∙С2∙L3=0
Корнями этого уравнения будут:
ω1=-318.429 радсек
ω2=318.429 радсек
ω3=-806.403 радсек
ω4=806.403 радсек
То есть резонанс напряжений в этой цепи возникнет на частотах:
ω2=318.429 радсек
ω4=806.403 радсек
Или
f1=ω22∙π=318,4292*3,14=50,7 Гц
f2=ω42∙π=806,4032*3,14=128,41 Гц
Данное выражение обеспечит Х= ∞ (резонанс токов), если знаменатель этой дроби будет равен нулю:
ω∙С1∙С2∙ω2∙С4∙L3-1=0
Корнями этого уравнения будут:
ω1=0 радсек
ω2=408.248 радсек
ω3=-408.248 радсек
То есть резонанс токов в этой цепи возникнет на частоте:
ω2=408.248 радсек
Или
f3=ω22∙π=408,2482*3,14=65 Гц