Для данной задачи линейного программирования:
построить ее математическую модель;
решить ее геометрическим методом;
решить ее симплекс-методом;
построить задачу, двойственную к данной и найти её решение;
дать экономическую интерпретацию полученным ответам.
На консервный завод должно поступить 1800 ц вишни, 800 ц клубники, 1240 ц абрикос, которые используются для изготовления компотов двух видов. Норма расхода фруктов на 1000 банок компота каждого вида, прибыль от реализации одной банки каждого вида даны в таблице. Определить какое количество каждого вида компота следует выпускать, чтобы обеспечить заводу получение максимальной прибыли?
Фрукты Нормы расхода на 1 тысячу банок, ц
I II
Вишня 2 2
Клубника 5 2
Абрикосы - 3
Прибыль, руб. 20 38
Решение
1. Построим математическую модель задачи.
Введем обозначения переменных. Пусть
x1 - количество тыс. шт. банок компота I-го вида;
x2 - количество тыс. шт. банок компота II-го вида,
которые должно выпустить предприятие.
Цель решения задачи - определить количество банок компота двух видов, которые необходимо произвести, чтобы получить наибольший доход.
При производстве x1 тыс. шт. компота I вида, будет получен доход в размере 20∙x1 руб, а при производстве x2 тыс. шт. компота II вида будет получен доход в размере 38∙x2 руб. Следовательно, общий доход предприятия будет равен 20x1+38x2 руб.
Тогда можем записать, что функция цели имеет следующий вид вид:
fx1,x2=20x1+38x2→max
Учтем теперь ограничения на ресурсы. По вишне:
2x1+2x2≤1800.
Аналогично по клубнике:
5x1+2x2≤800.
Наконец по абрикосам:
3x2≤1240.
Ясно также, что значение количества не может быть отрицательным.
Т.е. x1,x2≥0.
Таким образом, имеем следующую задачу линейного программирования как математическая модель заданной задвчи:
найти значения переменных x1, x2, доставляющих наибольшее значение функции
fx1,x2=20x1+38x2→max
при условии, что
2x1+2x2≤1800,
5x1+2x2≤800,
3x2≤1240,
x1,x2≥0.
2. Решим задачу геометрическим (графическим) методом.
Общий порядок графического решения задачи линейного программирования, имеющей две переменные, состоит в следующем.
На плоскости вводим прямоугольную систему координат x10x2
. Определяем масштаб представления чисел на осях координат.
Строим область определения функции цели как общую часть полуплоскостей, определяемых неравенствами системы ограничений.
Каждому неравенству ставим в соответствие равенство и строим граничную прямую соответствующей полуплоскости. Затем, выбрав на плоскости любую точку, не лежащую на граничной прямой, подставляют ее координаты в неравенство. Если неравенство выполняется, то выбранная точка лежит на искомой полуплоскости, а если неравенство не выполняется, то полуплоскость лежит по другую сторону от выбранной точки.
Строим область определения на рисунке. Римскими цифрами указаны номера неравенств, откуда построена граница полуплоскости.
Направляющий вектор C = (c1,c2) указывает направление возрастания функции цели. Линия одного уровня функции цели располагается перпендикулярно вектору. Сдвигая линию одного уровня функции цели в направлении, указываемом вектором C, найдем точку максимума функции цели, а сдвигая в обратном направлении, найдем минимум функции. Естественно, эта точка должна принадлежать области определения функции.
Как правило, точка оптимума есть точка пересечения прямых, определяемых неравенствами системы ограничений.
Здесь Xopt=0;400, fmax=20∙0+38∙400=15200.
3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
