Для балок из условия прочности при изгибе подобрать поперечные сечения

А. Консольная балка
В соответствии с заданными условиями загружаем балку внешними нагрузками.
Освобождаем балку от связей (жесткой заделки А), заменяя ее действие реакциями:
YA - вертикальной состояющей (горизонтальная составляющая ХА равна нулю, т.к. все внешние нагрузки строго вертикальны) и реактивным моментом mA. В результате получаем расчетную схему балки.
1. Находим реакции в жесткой заделки.
Для полученной плоской системы сил составляем уравнения равновесия в виде:
ΣFiy = 0, - YA + Р1 + q2·(b+c) = 0, (1),
ΣМА= 0, - mA+ Р1·(а + b+c) + q2·(b+c)·[a + (b+c)/2] + M2 = 0, (2). Из уравнения (1), находим: YA = Р1 + q2·(b+c) = 15 + 18·(1,5 + 3,0) = 96,0 кН.
Из уравнения (2), получаем:
mA = Р1·(а + b+c) + q2·(b+c)·[a + (b+c)/2] + M2 = 15·(1,4 + 4,5) + 18·4,5·[1,4 +4,5/2] +
+ 17 = 401,15 кН·м.
Проверка: ΣМС = - mA + YA·(а + b+c) + M2 - q2·(b+c)2/2 = - 401,15 + 96,0·(1,4 + 4,5) +
+ 17 - 18·4,52/2 = - 583,4 + 583,4 = 0, т.е. условие равновесие - выполняется, следовательно опорные реакции определены - правильно.
Разбиваем длину балки на два силовых участка: I и II.
Участок I (АВ): 0 ≤ х1 ≤ а = 1,4 м.
Q(х1) = - YA = - 96,0 кН = const, следовательно QA = QB = - 96,0 кН.
M(х1) = mA- YA·х1 - уравнение наклонной прямой.
M(0) = МA = 401,15 - YA· 0 = 401,15 кН·м,
M(1,4) = МлевВ = 401,15 - 96,0·1,4 = 266,75 кН·м.
Участок II (CВ): 0 ≤ х2 ≤ b+c = 4,5 м.
Q(х2) = - Р1 - q2·х2 - уравнение наклонной прямой.
Q(0) = QC = - 15 - q2·0 = - 15 кН.
Q(4,5) = QB = - 15 - 18·4,5 = - 96,0 кН,
M(х2) = Р1·х2 + q2·х22/2 - уравнение параболы,
M(0) = МС = Р1·0 + q2·02/2 = 0,
М(4,5) = МправВ = 15·4,5 + 18·4,52/2 = 249,75 кН·м. По полученным данным строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М.
Проверка построения эпюр с помощью дифференциальных зависимостей Журавского, которые имеют следующий вид:
q = dQ/dx = d2M/d2x; Q = dM/dx .
Проверяем выполнение этих зависимостей для каждого участка.
Участок I (АВ):
Для него имеем и получено: q(х1) = 0, Q(х1) = - YA = - 96,0 кН = const, что графически выражается в прямой линии, параллельной оси х; M(х1) = mA- YA·х1 - уравнение наклонной прямой.
Дифференцируя, получим: Q(х1) = d M(х1)/dx1 = d(mA- YA·х1) /dx1 = - YA,
q(х1) = d2M(х1)/d2x1 = d(- YA) )/dx1 = 0.
Как видно, на 1-ом участке диф.зависимости полностью выполняются и согласуются с видом эпюр.
Участок II (CВ):
Для него имеем и получено: q(х2) = q2 = - 18 кН = const, т.е. прямая линия, параллельная оси х; Q(х2) = - Р1 - q2·х2 - уравнение наклонной прямой;
M(х2) = Р1·х2 + q2·х22/2 - уравнение параболы,
Дифференцируя, получим: Q(х2) = d M(х2)/dx2 = d(Р1·х2 + q2·х22/2) = - (Р1 + q2·х2),
q(х2) = d2M(х2)/d2x2 = d(-Р1 - q2·х2) = - q2 = - 18 кН = const.
Как видно, и на 2-ом участке диф.зависимости полностью выполняются и согласуются с видом эпюр.
К балке в сечении В приложен сосредоточенный момент М2 = 17 кН·м, поэтому на эпюре моментов в этом сечении должен быть скачок на величину этого момента.
Действительно: МлевВ - МправВ = 266,75 - 249,75 = 17 кН·м = М2.
На основании проведенной проверки, можно сделать окончательный вывод, что эпюры Q и М - построены - правильно.
Определение диаметра круглого сечения балки.
Условие прочности при прямом поперечном изгибе имеет вид:
σmax = Mmax/WZ ≤ [σ], где Mmax = МA = 401,15 кН·м, момент сопротивления для круглого сплошного сечения определяется по формуле: WZ = π·d3/32 ≈ 0,1·d3 . Подставляя в условие прочности и решая относительно диаметра d, находим:
d ≥ 310∙Mmax[σ] = 310∙401,15∙103140∙106 = 30,6·10-2 м = 30,6 cм, принимаем округляя в большую сторону d = 31,0 см = 310 мм.

Б. Балка на двух опорах.
В соответствии с заданными условиями загружаем балку внешними нагрузками.
Освобождаем балку от связей (опор), заменяя их действия реакциями связей.
Для полученной плоской системы сил составляем уравнения равновесия в виде:
ΣМА= 0, - q2·a2/2 + M2 + P1·(a+b) - YB·(a+b+c) = 0, (1)
ΣМВ= 0, -YA·(a+b+c) + q2·a·(a/2 + b + c) + M2 - P1·c = 0, (2). Из уравнения (1), имеем:
YB = [, - q2·a2/2 + M2 + P1·(a+b)]/(a+b+c) = [ -18·1,42/2 +17 + 15·(1,4+1,5)]/(1,4+1,5+3)=
= 7,26 кН. Итак YB = 7,26 кН. Из уравнения (2), получаем:
YA = [q2·a·(a/2 + b + c) + M2 - P1·c] /(a+b+c) = [18·1,4·(1,4/2 +1,5+3,0) + 17 - 15·3]/
/(1,4+1,5+3) = 17,46 кН.
Проверка: ΣFiy = YA + P1 - YB - q2·a = 17,46 + 15 - 7,26 -18·1,4 = 32,46 - 32,46 = 0,
следовательно опорные реакции определены - правильно.
Разбиваем длину балки на 4 - ре силовых участка: I, II, III и IV. Для каждого из участков составляем аналитические зависимости: Q = Q(х) и М = М(х).
Участок I (АС): 0 ≤ х1 ≤ а = 1,4 м.
Q(x1) = YA - q2·x1 - уравнение наклонной прямой,
Q(0) = QА = YA - q2·0 = 17,46 кН.
Q(1,4) = QС = 17,46 - 18·1,4 = -7,74 кН, т.е. на этом участке поперечная сила меняет свой знак. Определим при каком значении абсциссы это происходит:
Q(x0) = YA - q2·x0 = 0, ⇒ x0 = YA/q2 = 17,46/18 = 0,97 м.
М(x1) = YA·x1 - q2·x21/2 - уравнение параболы.
М(0) = МА = YA·0 - q2·02/2 = 0,
М(x0) = М(0,97) = М0 = 17,46·0,97 - 18·0,972/2 = 8,47 кН·м,
М(1,4) = МС = 17,46·1,4 -18·1,42/2 = 6,80 кН·м,
Участок II (СD): 0 ≤ х2 ≤ b = 1,5 м.
Q(x2) = YA - q2·a = 17,46 - 18·1,4 = -7,74 кН = const, следовательно QС = QлевD =
= -7,74 кН.
М(x2) = YA·(а + x2) - q2·a·(а/2 + x2) - уравнение наклонной прямой.
М(0) = МС = 17,46·(1,4 + 0) -18·1,4·(1,4/2 + 0) = 6,80 кН·м,
М(1,5) = МлевD = 17,46·(1,4 + 1,5) -18·1,4·(1,4/2 + 1,5) = - 4,78 кН·м,
Участок III (EB): 0 ≤ х3 ≤ d = 1,5 м.
Q(x3) = 0 = const, следовательно QE = QправD = 0,
М(x3) = 0 = const, следовательно МЕ = МВ = 0,
Участок IV (BD): 0 ≤ х4 ≤ c = 3,0 м.
Q(x4) = YB = 7,26 кН = сonst, следовательно QлевВ = QправD = 7,26 кН
М(x4) = - YB·x4- уравнение наклонной прямой.
М(0) = МВ = - YB·0 = 0,
М(3,0) = МправD = - 7,26·3,0 = - 21,78 кН·м