Для заданных схем балок требуется Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Стальная консольная балка (рис. 3, а)
1. Определение реакции связей
Брус нагружен поперечной равномерно распределенной силой с интенсивностью q на участке AB длины a=1 м, и сосредоточенной силой P1, приложенной в точке B (работает как консольная балка).
Брус имеет единственную опору – жесткая заделка (защемление) в конце D стержня, где в общем случае (при воздействии на балку плоской системы сил, расположенной в плоскости yDz) могут возникать реакции Y и Z, и момент защемления MD. Освободим балку от связей заменяя их соответствующими реакциями (рис. 4, б).
Равномерно распределенную нагрузку заменим сосредоточенной силой Q, с модулем Q=aq=10 кН, приложенной к центру участка AB.
Для определения реакций Y и Z и момента защемления MA составим и совместно решим уравнения равновесия балки.
Fiy=0⟹Y+Q-P1=0⟹Y=P1-Q=35-10=25 кН;
Y=25 кН.
Fiz=0⟹-Z=0⟹Z=0;
Z=0.
RD=Y=25 кН.
mD=0⟹-MD+2,5Q-2P1+m2⟹MD=2,5Q-2P1+m2==2,5∙10-2∙35+12=-33 кН∙м.
MD=-33 кН∙м.
2. Вычисление внутренних поперечных сил и изгибающих моментов. Построение эпюр
Расчеты начнем с правого, свободного конца балки.
1524038101
2
y
A
B
C
q
z
Z
MD
Y
а)
б)
в)
г)
2
Рис. 4. Расчетная схема стальной балки и эпюры
Эпюра Qy,
кН
Эпюра Mx,
кНм
a=1 м
y
A
B
Q=10 кН
z
z1
1
1
z2
2
25
a=1 м
P1
D
m2
P1
C
m2
D
3
a=1 м
z3
25
25
-10
5
0
0
-20
-8
-33
3
3
001
2
y
A
B
C
q
z
Z
MD
Y
а)
б)
в)
г)
2
Рис. 4. Расчетная схема стальной балки и эпюры
Эпюра Qy,
кН
Эпюра Mx,
кНм
a=1 м
y
A
B
Q=10 кН
z
z1
1
1
z2
2
25
a=1 м
P1
D
m2
P1
C
m2
D
3
a=1 м
z3
25
25
-10
5
0
0
-20
-8
-33
3
3
На участке 1 проведем сечение 1-1, на расстоянии z1 (0≤z1≤1 м) от точки A. Выбрасываем левую часть и рассмотрим равновесие оставленной части.
Учитывая правила определения знаков внутренних поперечных сил и изгибающих моментов, получим:
Qy1=-qz1=10z1.
На концах участка 1
Qy1A=0.
Qy1B=-10 кН.
Mx1=qz1∙z12=5z12
Mx1A=0;
Mx1B=5 кНм.
На участке 2 (0≤z2≤1 м):
Qy2=P1-q∙1=35-10=25 кН=const.
Mx2=-P1z2+q∙10,5+z2=-35z2+5+10z2;
Mx2B=5 кНм.
Mx2C=-20 кНм.
На участке 3 (рассмотрим слева) (0≤z3≤1 м):
Qy3=RD=25 кН.
Mx3=RDz3+MA=25z3-33.
Mx3D=-33 кНм.
Mx3C=25∙1-33=-8 кНм.
По полученным результатам построим эпюры (рис. 4, в, г).
3. Определение поперечного сечения балки
_Определим из условия прочности размеры поперечного сечения балки в форме двутавра.
Из условия прочности
MxmaxWx≤σ. (*)
Отсюда
Wx≥Mxmaxσ=33∙103250∙106=1,32∙10-4м3=132 см3.
По ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр №18, у которого Wx=143,0 см3 (ближайшее большое значение по сравнению с расчетным).
_Определим из условия прочности размеры поперечного сечения балки в форме прямоугольника (h=2b).
Для прямоугольного сечения размерами b×h осевой момент сопротивления определяется по формуле
Wx=bh26.
Подставим это выражение в (*), и учитывая заданное соотношение размеров сечения балки, получим:
MxmaxWx≤σ;
6Mxmaxbh2≤σ;
6∙33∙1034b3≤σ;
b≥36∙33∙1034σ=36∙33∙1034∙250∙106≈0,060м=6,0 см.
Величина h определяется из соотношения h=2b=12,0 см.
_Определим из условия прочности размеры поперечного сечения балки в форме круга.
Для сплошного круглого сечения вала диаметра d
Wx=πd316
Из условия прочности (*) получаем следующее выражение для диаметра сечения:
16Mxmaxπd3≤σ
16Mxmaxπσ≤d3
d≥316Mxmaxπσ=316∙33∙1033,14∙250∙106≈0,090м=9 см.
***
б) Расчет чугунной балки (рис . 3, б, г)
1. Определение реакции связей
Реакции обеих опор направлены перпендикулярно (направим их вверх).
Уравнение проекций на оси используем для проверки.
-2286038101
2
y
A
B
C
q
z
а)
б)
в)
г)
2
Рис. 5. Расчетная схема чугунной балки и эпюры
Эпюра Qy,
кН
Эпюра Mx,
кНм
a=1 м
y
A
B
Q=10 кН
z
z1
1
1
z2
2
a=1 м
P1
D
m1
P1
C
m1
D
3
a=1 м
z3
26
-9
0
0
3
3
RB
RD
-9
0
-9
16
12
12
001
2
y
A
B
C
q
z
а)
б)
в)
г)
2
Рис. 5. Расчетная схема чугунной балки и эпюры
Эпюра Qy,
кН
Эпюра Mx,
кНм
a=1 м
y
A
B
Q=10 кН
z
z1
1
1
z2
2
a=1 м
P1
D
m1
P1
C
m1
D
3
a=1 м
z3
26
-9
0
0
3
3
RB
RD
-9
0
-9
16
12
12
Для определения значений реакций опор составим уравнения моментов относительно точек D и B.
mD=0⟹1∙P1-1,5Q+2RB+m1⟹
⟹RB=-P1+1,5Q-m12=-35+1,5∙10-122=-16 кН;
RB=-16 кН.
mB=0⟹-1∙P1+0,5Q-2RD+m1⟹RD=m1-1∙P1+0,5Q2=
=12-1∙35+0,5∙102=-9 кН;
RD=-9 кН.
Проверка:
Fiy=RD+RB+P1-Q=-9-16+35-10=0.
Расчеты верны.
2. Вычисление внутренних поперечных сил и изгибающих моментов. Построение эпюр
Так как уже определили реакции, расчеты можно начинать с любого конца. Начнем с левого.
Участок 1 (0≤z1≤1 м)
Qy1=RD=-9 кН.
Mx1=RDz1=-9z1.
Mx1D=0.
Mx1C=-9 кНм.
На участке 2 (0≤z2≤1 м):
Qy2=RD+P1-qz2=-9+35-10z2=-10z2+26
Qy2C=26 кН.
Qy2B=-10∙1+26=16 кН.
Mx2=RD1+z2+P1z2-q∙z222=-9-9z2+35z2-5z22==-9+26z2-5z22.
Mx2C=-9 кНм.
Mx2B=-9+26∙1-5∙12=12кНм.
На участке 3 (рассмотрим слева) (0≤z3≤1 м):
Qy3=0.
Mx3=m1=12 кНм=const.
По полученным результатам построим эпюры (рис. 5, в, г).
4. Определение размеров поперечного сечения
Опасными являются сечения на участке 3 и расчетный изгибающий момент Mxmax=12 кНм.
centertopa
a
a
2a
0,231a
X
Y (Y1;Y2)
O1
O2
Рис. 6. Расчетная схема сечения чугунной балки 
X1
1
2
C
X2
3a
1,269a
ymax2=2,269a
ymax1=2,731a
00a
a
a
2a
0,231a
X
Y (Y1;Y2)
O1
O2
Рис. 6. Расчетная схема сечения чугунной балки 
X1
1
2
C
X2
3a
1,269a
ymax2=2,269a
ymax1=2,731a
Форма сечения показано на рис. 6.
Для определения размеров поперечного сечения необходимо найти из условия прочности балки осевой момент сопротивления относительно его нейтральной оси. Заданное сечение (рис.6) имеет ось симметрии, и для определения положения его центра тяжести достаточно вычислить только одну его координату- ординату yC.
Разобьем заданную фигуру на две простые части: прямоугольники (1) и (2). Прямоугольнику (2) приписываем отрицательную площадь