Даны точки А (0;3;-1), В (-1;2;5), С(1;0;-4), D (-3;-1;-2). Найти:
1) общее уравнение плоскости АВС;
2) расстояние от точки D до плоскости ABC;
3) канонические уравнения прямой АВ;
4) канонические уравнения прямой, проходящие через точку D параллельно прямой АВ.
Решение
1) Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = -1-0; Y = 2-3; Z = 5-(-1)
AB(-1;-1;6)
AC(1;-3;-3)
AD(-3;-4;-1)
BC(2;-2;-9)
BD(-2;-3;-7)
CD(-4;-1;2)
Уравнение плоскости.
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1
x3-x1 y3-y1 z3-z1
= 0
Уравнение плоскости ABC:
x-0 y-3 z+1
-1 -1 6
1 -3 -3
= 0
(x-0)((-1)*(-3)-(-3)*6) - (y-3)((-1)*(-3)-1*6) + (z+1)((-1)*(-3)-1*(-1)) =
=21x + 3y + 4z-5 =0
2) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины D(-3,-1,-2).Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:
Уравнение плоскости ABC: 21x + 3y + 4z-5 = 0
3) Уравнение прямой АВ
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:
Параметрическое уравнение прямой:
x=x0+lt
y=y0+mt
z=z0+nt
Уравнение прямой AB(-1,-1,6):
Параметрическое уравнение прямой:
x=0-t
y=3-t
z=-1+6t
4) Уравнение плоскости через вершину D(-3,-1,-2).
Плоскость, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0
Уравнение плоскости ABC: 21x + 3y + 4z-5 = 0
21(x-(-3))+3(y-(-1))+4(z-(-2)) = 0
Или
21x+3y+4z+74 = 0
на новый заказ в Автор24.
