Даны координаты векторов x = (-2;4;7),a = (3;1;2),b = (1;3;1),c = (-1;2;4) в правом ортонормированием базисе i, j, k (первый базис) Показать, что векторы a,b,c тоже образуют базис и найти координаты вектора x в базисе a,b,c. Сделать рисунки в MATLAB:
на первом рисунке показать вектор, разложенный по первому базису,
на втором рисунке - вектор, разложенный по второму базису
Решение
Показываем, что a,b,c образуют базис, т.е. 3 вектора в 3-хмерном пространстве линейно независимые:
clc
clear all
close all
x=[-2;4;7];a=[3;1;2];b=[1;3;1];c=[-1;2;4];
disp('Составляем определитель из векторов a, b, c:')
D=[a b c];
disp(D)
fprintf('Определитель равен: %f\n',det(D))
disp('|D| не равен 0, векторы a, b, c линейно независимые, образуют базис')
Находим координаты вектора x в базисе a,b,c:
xe=inv(D)*x;
disp('Координаты вектора x в новом базисе:')
disp(xe)
Вектор, разложенный по первому базису:
grid on, hold on
%система координат
xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
axis square
line([-8 0 0;8 0 0], [0 -8 0;0 8 0],[0 0 -8;0 0 8],'Color','black')
box on
plot3(8,0,0,'<k','LineWidth',2)
plot3(0,8,0,'<k','LineWidth',2)
plot3(0,0,8,'<k','LineWidth',2)
text(7.5,-0.5,0.8,'X')
text(-0.5,7.5,0.8,'Y')
text(-0.5,-1,7.5,'Z')
%разложение по первому базису
line([0 x(1)],[0,0],[0,0],'LineWidth',2)
plot3(x(1),0,0,'>','LineWidth',2)
text(x(1)-0.5,-0.5,0.8,'-2*i')
line([0 0],[0,x(2)],[0,0],'Color','green','LineWidth',2)
plot3(0,x(2),0,'>g','LineWidth',2)
text(-0.5,x(2)-0.5,0.8,'4*j')
line([0 0],[0,0],[0,x(3)],'Color','red','LineWidth',2)
plot3(0,0,x(3),'>r','LineWidth',2)
text(-0.5,-1,x(3)-0.5,'7*k')
%вектор x
line([0 x(1)],[0,x(2)],[0,x(3)],'Color','black','LineWidth',2)
plot3(x(1),x(2),x(3),'<k','LineWidth',2)
%параллелепипед разложения
line([x(1) x(1) 0 0 0 x(1) x(1)],[0 x(2) x(2) x(2) 0 0 0],[0 0 0 x(3) x(3) x(3) 0],'Color','black','LineStyle','--')
line([x(1) x(1)],[x(2),x(2)],[0,x(3)],'Color','black','LineStyle','--')
line([0 x(1)],[x(2),x(2)],[x(3),x(3)],'Color','black','LineStyle','--')
line([x(1) x(1)],[0,x(2)],[x(3),x(3)],'Color','black','LineStyle','--')
Вектор, разложенный по второму базису:
figure
grid on, hold on
%система координат
xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
axis square
line([-2 0 0;2 0 0], [0 -2 0;0 2 0],[0 0 -2;0 0 8],'Color','black')
box on
plot3(2,0,0,'<k','LineWidth',2)
plot3(0,2,0,'<k','LineWidth',2)
plot3(0,0,8,'<k','LineWidth',2)
text(7.5,-0.5,0.8,'X')
text(-0.5,7.5,0.8,'Y')
text(-0.5,-1,7.5,'Z')
%разложение по базису a,b,c
a=a*xe(1);b=b*xe(2);c=c*xe(3);
line([0 a(1)],[0,a(2)],[0,a(3)],'LineWidth',2)
line([0 b(1)],[0,b(2)],[0,b(3)],'Color','green','LineWidth',2)
line([0 c(1)],[0,c(2)],[0,c(3)],'Color','red','LineWidth',2)
plot3(a(1),a(2),a(3),'>','LineWidth',2)
plot3(b(1),b(2),b(3),'>g','LineWidth',2)
plot3(c(1),c(2),c(3),'>r','LineWidth',2)
text(a(1),a(2),a(3),strcat(num2str(xe(1)),'a'))
text(b(1),b(2),b(3),strcat(num2str(xe(2)),'b'))
text(c(1),c(2),c(3),strcat(num2str(xe(3)),'c'))
%параллелепипед разложения
line([a(1) a(1)+b(1) b(1)],[a(2) a(2)+b(2) b(2)],[a(3) a(3)+b(3) b(3)],'Color','black','LineStyle','--')
line([a(1)+c(1) a(1)+b(1)+c(1) b(1)+c(1)],[a(2)+c(2) a(2)+b(2)+c(2) b(2)+c(2)],[a(3)+c(3) a(3)+b(3)+c(3) b(3)+c(3)],'Color','black','LineStyle','--')
line([a(1) a(1)+c(1) c(1)],[a(2) a(2)+c(2) c(2)],[a(3) a(3)+c(3) c(3)],'Color','black','LineStyle','--')
line([a(1)+b(1) a(1)+c(1)+b(1) c(1)+b(1)],[a(2)+b(2) a(2)+c(2)+b(2) c(2)+b(2)],[a(3)+b(3) a(3)+c(3)+b(3) c(3)+b(3)],'Color','black','LineStyle','--')
line([b(1) b(1)+c(1) c(1)],[b(2) b(2)+c(2) c(2)],[b(3) b(3)+c(3) c(3)],'Color','black','LineStyle','--')
line([b(1)+a(1) b(1)+c(1)+a(1) c(1)+a(1)],[b(2)+a(2) b(2)+c(2)+a(2) c(2)+a(2)],[b(3)+a(3) b(3)+c(3)+a(3) c(3)+a(3)],'Color','black','LineStyle','--')
%вектор x
line([0 x(1)],[0,x(2)],[0,x(3)],'Color','black','LineWidth',2)
plot3(x(1),x(2),x(3),'<k','LineWidth',2)
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
