Дано:
Р = 150кН; q = 70кН/м;
а = 1,5м; b = 1,9м; с = 1,5м;
R=210 МПа; E=2,1∙105 МПа
______________________________
1. определить продольные усилия ;
2. определить из условия прочности площади поперечных сечений участков стержня при заданном их соотношении;
3. определить абсолютные и относительные деформации;
4. построить эпюры продольных усилий, напряжений, относительных деформаций и перемещений;
Решение
201762980Задача статически неопределима, поскольку опоры две (значит, две неизвестные силы реакции), а уравнение равновесия – одно.
Вводим декартовую систему координат. Заменяем действие опор силами реакций R и T. Предполагаем, что реакция в опоре В известна. Находим реакцию в опоре О из уравнения равновесия.
ΣFZi = 0 = T - q∙c – 2∙P – R = 0 => R = T - q∙c – 2∙P = T – 405 кН
20176751 Стержень состоит из трех участков. На каждом из этих участков вводим локальную систему координат. Мысленно рассекаем каждый участок сечением, отбрасываем часть стержня, которая не содержит начало локальной системы координат. Действие отброшенной части заменяем продольным усилием Ni и записываем уравнения равновесия для оставшейся части, из которых находим выражения для внутренних продольных усилий.
УЧАСТОК 1 0 ≤ Z1 ≤ b = 1,9м
20176-3272 ΣFZi = 0 = N1 – R = N1 - T + 405 => N1 = T – 405кН
σ1 = N12A = T-4052A ε1 = σ1E = T-4052×A×E
w1 = w0 + 0Z1T-4052×A×Edz1 = T-4052×A×E×Z1
Если Z1 = 0 w1 = 0
Если Z1 = b w1 = T-4052×A×E×b
УЧАСТОК 2 0 ≤ Z2 ≤ a = 1,5м
20176-1335 ΣFZi = 0 = N2 – R – 2Р => N2 = R + 2P = T – 405 + 300 = T – 105кН σ2 = N2A = T-105A ε2 = σ2E = T-105A×E
w2 = w1кон + 0Z2T-105A×Edz2 = T-4052×A×E×b + T-105A×E×Z2
Если Z2 = 0 w2 = T-4052×A×E×b
Если Z2 = a w2 = T-4052×A×E×b + T-105A×E×a
У1ЧАСТОК 3 0 ≤ Z3 ≤ с = 1,5м
20176-2090
ΣFZi = 0 = N3 – R – 2Р - q∙Z3 => N3 = R + 2P + q∙Z3 = (T – 105 + q∙Z3) кН
σ3 = N32×A = T-105+q×Z32×A ε3 = σ3E = T-105+q×Z32×A⤬E
w3 = w2кон + 0Z3T-105+q⤬Z32×A×Edz3 =
= T-4052×A×E×b + T-105A×E×a + T-1052×A×E×Z3+ q×Z324×A×E
Если Z3 = 0 w3 = T-4052×A×E×b + T-105A×E×a
Если Z3 = с w3 = T-4052×A×E×b + T-105A×E×a + T-1052×A×E×c+ q×c24×A×E = 0, поскольку в сечении с координатой Z3 = с стоит жесткая заделка.
Из уравнения T-4052×A×E×b + T-105A×E×a + T-1052×A×E×c+ q×c24×A×E = 0 определяем неизвестную реакцию Т
2∙(Т – 405)∙b + 4∙(T – 105)∙a + 2∙(T – 105)∙c + q∙c2 = 0 => T∙(2b + 6a) = 810b + 420a +210c - q∙c2
T = 181,7578кН
R = T – 405 = -223,2422кН
Определяем численные значения внутренних усилий по участкам
N1 = T – 405кН = - 223,2422кН
N2 = T – 105кН = 181,7578 – 105 = 76,7578кН
N3 = T – 105 + q∙Z3
Если Z3 = 0 N3 = T – 105 = 76,7578
Если Z3 = c = 1,5м N3 = T – 105 + q∙Z3 = 181,7578кН
2) Самым нагруженным является участок 1 : Nmax = │N1│ = 223,2422кН
Из условия прочности находим необходимую площадь поперечного сечения
S1 ≥ N1R = 223,24210000 = 0,00106м2 = 10,6см2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
