Дано: p1=760 мм рт.ст.; t1=0 ℃;
степень сжатия ε=v1v2=9;
степень предварительного расширения ε=v3v2=2,9;
степень падения давления λ=p4p5=1;
показатель политропы сжатия nсж=2,8;
показатель политропы расширения nрас=1;
рабочее тело: идеальный газ;
показатель адиабаты k=1,67;
масса рабочего тела m=1 кг.
Вычислить:
Параметры состояния в характерных точках цикла;
Подводимую и отводимую теплоту;
Работу расширения и работу сжатия;
Количество теплоты, преобразуемую в работу, т.е. работу цикла;
Термический КПД;
Изменение энтропии в каждом процессе.
Построить:
Расчетный цикл в масштабе в pv- и Ts- координатах.
Решение
Теплофизические свойства рабочего тела
Для вычисления удельных теплоты и работы в процессах цикла помимо показателя адиабаты необходимо знать молярную массу рабочего тела или его газовую постоянную. Судя по показателю адиабаты, рабочим телом является одноатомный инертный газ, типа гелия, аргона, ксенона, криптона, неона или радона. Примем в качестве рабочего тела гелий He, для которого:
молярная масса μ=4,002602кгкмоль;
газовая постоянная:
R=R0μ=8314,464,002602=2077,26 Джкг∙К=2,07726 кДжкг∙К ,
где R0=8314,46 Джкмоль∙К - универсальная газовая постоянная;
удельная изобарная теплоёмкость (по формуле для идеального газа):
cp=kk-1R=1,671,67-1∙2,07726=5,17766 кДжкг∙К .
Параметры состояния в характерных точках цикла
Поскольку по условию задачи степень падения давления λ=1, расчетный цикл состоит из 4 процессов: политропного сжатия, изобарного расширения, изотермического расширения и изобарного сжатия, имеем 4 характерных точки цикла.
Поскольку масса рабочего тела равна m=1 кг, все расчеты будем проводить для удельных параметров.
Точка 1.
Давление:
p1=760 мм рт.ст.=760∙133,332=101325 Па=0,101325 МПа - задано по условию;
температура:
T1=0 ℃=273,15 К - по условию;
удельный объём из уравнения Менделеева-Клапейрона:
v1=RT1p1=2077,26∙273,15101325=5,59985 м3кг ;
удельная энтропия:
s1=0- принимаем в точке 1 равной нулю.
Точка 2 — конец политропного сжатия рабочего тела.
В результате сжатия объём рабочего тела уменьшается в ε раз:
v2=v1ε=5,599859=0,622205 м3кг ;
Давление рабочего тела возрастает в εnсж раз:
p2p1=v1v2nсж=εnсж ;
p2=p1∙εnсж=0,101325∙106∙92,8=0,101325∙106∙469,763==47,5988 МПа;
Температура в политропном процессе сжатия возрастёт в εnсж-1 раз:
T2=T1∙εnсж-1=273,15∙92,28-1=273,15∙52,196=14257,31 K;
Энтропию можно рассчитать либо как параметр состояния:
s2=s1+cp∙lnT2T1-R∙lnp2p1=
=0+5,17766∙ln14257,31273,15-2,07726∙ln475,9881,01325=7,6979 кДжкг∙К ,
либо как параметр процесса, вычислив предварительно теплоёмкость политропного процесса:
c1-2=cvnсж-knсж-1=cpk∙nсж-knсж-1;
c1-2=5177,661,67∙2,8-1,672,8-1=1946,358 Джкг∙К=1,946358 кДжкг∙К ;
s2=s1+c1-2∙lnT2T1=0+1946,358∙ln14257,31273,15=7697,855 Джкг∙К=
=7,6979 кДжкг∙К ,
получили тот же результат.
Точка 3 — конец изобарного расширения рабочего тела.
p3=p2=47,5988 МПа;
v3=ρ∙v2=2,9∙0,622205=1,804395 м3кг ;
T3=ρ∙T2=2,9∙14257,31=41346,21 К ;
s3=s1+cp∙lnT3T1-R∙lnp3p1=
=0+5,17766∙ln41346,21273,15-2,07726∙ln475,9881,01325=13,2183 кДжкг∙К .
или, с учетом того, что процесс изобарный:
s3=s2+cplnT3T2=7,6979+5,17766∙ln41346,2114257,31=
=13,21056 кДжкг∙К ,
значение удельной энтропии совпадает.
Точка 4 — конец изотермического расширения рабочего тела.
Показатель политропы процесса 3-4 nрас=1, следовательно, процесс —изотермический:
T4=T3=41346,21 К ;
Расширение происходит, пока давление рабочего тела не станет равным давлению окружающей среды:
p4=p1=1,01325 бар ;
Для изотермического процесса
v4p4=v3p3,
следовательно, во сколько раз упало давление, во столько же раз увеличился объём:
v4=v3p3p4=1,804395 475,98761б01325=847,6386 м3кг ;
Иначе удельный объём можно вычислить из уравнения Менделеева-Клапейрона:
v4=RT4p4=2077,26∙41346,21 101325=847,63864 м3кг ,
совпадает.
s4=s1+cp∙lnT4T1-R∙lnp4p1=
=0+5,17766∙ln41346,21273,15-2,07726∙ln1,013251,01325=26,0036 кДжкг∙К .
или через приращение энтропии в изотермическом процессе 3-4:
s4=s3+R∙lnp3p4=13,21056+2,07726∙ln475,9881,01325=
=25,99806 кДжкг∙К ,
совпадает.
Результаты расчета в основных точках цикла представлены в таблице 1.
Таблица 1.
Параметры рабочего тела (гелия) в основных точках цикла.
точка P, МПа T, К v, м3/кг s, кДж/(кг·К)
1 0,101325 273,15 5,59985 0
2 47,59876 14257,31 0,62221 7,6979
3 47,59876 41346,21 1,80440 13,2183
4 0,101325 41346,21 847,639 26,0036
Работа и теплота процессов цикла
Для каждого процесса цикла рассчитаем:
изменение температуры в процессе:
∆T=Tкон-Tнач ;
∆T1-2=T2-T1=14257,31-273,15=13984,16 K;
∆T2-3=T3-T2=41346,21-14257,31=27088,90 K;
∆T3-4=T4-T3=41346,21-41346,21=0 K;
∆T4-1=T1-T4=273,15-41346,21=-41073,06 K;
работу расширения процесса:
для политропного сжатия 1-2:
l1-2=Rnсж-1-∆T1-2=2,077262,8-1-13984,16=-16138,2 кДжкг ;
для изобарного расширения 2-3:
l2-3=R∙∆T2-3=2,07726∙27088,90=56270,8 кДжкг ;
для изотермического расширения 3-4:
l3-4=R∙T3∙lnp3p4=2,07726∙41346,21∙ln47,598760,101325=
=85887,0 кДжкг ;
для изобарного сжатия:
l4-1=R∙∆T4-1=2,07726∙-41073,06=-85319,6 кДжкг;
Работа цикла равна сумме работ по отдельным процессам цикла:
lц=i,j=14li-j=-16138,2+56270,8+85887,0-85319,6=40700,0 кДжкг ;
теплоту процесса
для политропного сжатия 1-2:
q1-2=cpk∙nсж-1nсж-1∙∆T=5,177661,67∙2,8-1,672,8-1 ∙13984,16==27218,2 кДжкг ;
для изобарного расширения 2-3:
q2-3=cp∙∆T2-3=5,17766 ∙27088,90=140257,0 кДжкг ;
для изотермического расширения 3-4:
q3-4=l3-4=R∙T3∙lnp3p4 ,
q3-4=l3-4=85887,0 кДжкг ;
для изобарного сжатия 4-1:
q4-1=cp∙∆T4-1=5,17766 ∙-41073,06=-212662,2 кДжкг ;
Подводимая теплота
q1=q1-2+q2-3+q3-4=27218,2+140257,0+85887,0=
=253362,21кДжкг=253,36 МДжкг ;
Отводимая теплота
q2=-q4-1=212662,24 кДжкг=212,66 МДжкг ;
Теплота цикла
qц=q1-q2=253362,21-212662,24=40700,0 кДжкг .
Выполняется условие энергетического баланса:
lц=qц .
40700,0 кДжкг=40700,0 кДжкг .
изменение энтропии
∆s=сnlnTконTнач ,
где сn- теплоёмкость процесса:
для политропного сжатия 1-2:
c1-2=cvnсж-knсж-1=cpk∙nсж-knсж-1;
c1-2=5177,661,67∙2,8-1,672,8-1=1946,358 Джкг∙К=1,946358 кДжкг∙К ;
∆s1-2=c1-2∙lnT2T1=1946,358∙ln14257,31273,15=7697,855 Джкг∙К=
=7,6979 кДжкг∙К ,
для изобарного расширения 2-3:
c2-3=cp=5177,66 Джкг∙К=5,17766 кДжкг∙К ;
∆s2-3=cplnT3T2=5,17766∙ln41346,2114257,31=5,5204 кДжкг∙К
для изотермического расширения 3-4:
c3-4=∞;
поэтому изменение энтропии находится как
∆s3-4=R∙lnp3p4=2,07726∙ln475,9881,01325=12,7853 кДжкг∙К;
для изобарного сжатия 4-1:
c4-1=cp=5177,66 Джкг∙К=5,17766 кДжкг∙К .
∆s4-1=cplnT1T4=5,17766∙ln273,1541346,21=-26,0036 кДжкг∙К .
Проверка:
∆sц=i,j=14∆si-j=7,6979+5,5204+12,7853-26,0036=0,0000 кДжкг∙К .
Следовательно, расчеты произведены верно.
Результаты расчета процессов цикла представлены в таблице 2.
Таблица 2.
Параметры процессов цикла для рабочего тела (гелия)
Процесс Вид проц
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
