Дана выборка из некоторых генеральных совокупностей

Объем выборки n=60
R=xmax-xmin=43-14=29 длина общего интервала
Теперь нужно разбить его на частичные интервалы. Используем для этого формулу Стерджеса:
k=1+3,322lgn,где
lgn-десятичный логарифм от объема выборки и
к-оптимальное количество интервалов.
Найдем значение к: k=1+3,322lg60=1+3,322∙1,778=6,9≈7
Длины частичных интервалов могут быть различны, но в большинстве случаев использует равно-интервальную группировку:
h=xmax-xmink; h=297=4,14≈5
Получим интервалы:
11,5-16,5-21,5-26,5-31,5-36,5-41,5-46,5
№ п/п Интервалы (ai;ai+1]
Рабочее поле
Середина
интервала
xi
Частота ni
Накопленная
частота
niнак
Относительная частота
wi=nin
1 11,5-16,5 15,14,15,15,14, 14 5 5 0,0833
2 16,5-21,5 18,18,19,19, 19 4 9 0,0667
3 21,5-26,5 22,23,22,24,25,
23,24 24 7 16 0,117
4 26,5-31,5 29,28,27,30,29,
28,29,30,28,28,
27,30,30,29,29,
31,31,31,31 29 19 35 0,317
5 31,5-36,5 36,35,32,35,35,
32,34,32,32,35,
35,34,36,36 34 14 49 0,233
6 36,5-41,5 38,38,40,39,38,
39,39, 39 7 56 0,117
7 41,5-46,5 42,43,42,43, 44 4 60 0,0667
60
1
Интервалы и их частоты представляют собой интервальный ряд. Середины интервалов и соответствующие частоты дают вариационный ряд.
Вариационный ряд
xi
14 19 24 29 34 39 44
ni
5 4 7 19 14 7 4
Построим гистограмму частот интервального статистического ряда
Рисунок 1
Рисунок 2
полигон
Определим выборочную среднюю; а также низшую и высшую частные средние; моду и медиану; дисперсию и среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации . Составим вспомогательную таблицу.
№ п/п Интервалы (ai;ai+1]
Середина
интервала
xi
Частота ni
𝑥𝑖ni
|x-xср|·ni
(x-xср)2·ni
1 11,5-16,5 14 5 70 79.167 1253.472
2 16,5-21,5 19 4 76 43.333 469.444
3 21,5-26,5 24 7 168 40.833 238.194
4 26,5-31,5 29 19 551 15.833 13.194
5 31,5-36,5 34 14 476 58.333 243.056
6 36,5-41,5 39 7 273 64.167 588.194
7 41,5-46,5 44 4 176 56.667 802.778
Итого:
60 1790 358.333 3608.333
Выборочное среднее x в=1nnixi=160∙1790=29,833
То есть в среднем средне годовой удой молока составляет 29,833 ц
Низшая и высшая частные средние находятся по формулам:
xH=14∙5+19∙4+24∙7+29∙195+4+7+19=70+76+168+55135=86535=24,714
xB=34∙14+39∙7+44∙414+7+4=476+273+17625=92525=37
В нашем случае:
Выбираем в качестве начала интервала 26.5, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество. Наиболее часто встречающееся значение ряда – 30,029
Медианным является интервал 26.5 - 31.5, т.к. в этом интервале накопленная частота.
Дисперсия вариационного ряда служит для характеристики рассеяния значений признака вокруг среднего значения и вычисляется по формуле:
s2=(xi-x)2nin
s2=3608.33360=60,139
Среднее квадратическое отклонение (стандарт) SX – это арифметическое значение квадратного корня из дисперсии.
sx=60,139≈7,755
Для сравнения величин рассеяния вариационных рядов вычисляют коэффициент вариации Vх как процентное отношение стандарта к средней арифметической:
Vx=sxx∙100%=7,75529,833∙100%=25,99%
Результаты вычислений поместим в таблицу.
характеристика обозначение значение
Выборочная средняя x
29,833
Размах варьирования Rx
29
Высшая средняя xB
37
Низшая средняя xH
24,714
Мода Mo
30,029
Медиана Me
30,184
Дисперсия s2
60,139
Стандарт sx
7,755
Коэффициент вариации Vx
25,99
nit=60∙57,755∙φui=38,69∙φ(ui)
Середина
интервала
xi
Частота
ni
ui=xi-xsx
φ(ui)
nit
(ni-nit)2
ni-nit2nit
14 5 -2,0417 0,0488 1,888 1,7445 0,2272
19 4 -1,397 0,1497 5,7912
24 7 -0,7522 0,2989 11,563 20,8207 1,801
29 19 -0,1075 0,3965 15,3386 13,4056 0,874
34 14 0,5373 0,3448 13,3386 0,4374 0,0328
39 7 1,182 0,1965 7,6016 0,2548 0,02428
44 4 1,8268 0,0748 2,8936
60
58,4146
2,15828
Расчетное значение критерия Пирсона составило χ2набл=2,15828
Число групп вариационного ряда, после объединения первой и второй, а так же шестой и седьмой групп, равна v = 5, следовательно, число степеней свободы к = 5 - 3 = 2