Дана струна длины π с закрепленными концами. Сила натяжения T0=12, линейная плотность ρ=3. Положение струны в начальный момент описывается формулой 12cos2x-1. Начальная скорость во всех точках равна 0. Найти закон движения струны.
Ответ
ux,t=8πk=0∞cos2(2k+1)tsin(2k+1)xπ(2k+1)(2k+1)2-4.
Решение
Поперечные колебания струны ux,t описываются одномерным волновым уравнением
ρutt=T0uxx, 0<x<π, t>0.
В нашем случае имеем
3utt=12uxx,
utt=4uxx, 0<x<π, t>0.
(1)
Начальные условия
ux,0=12cos2x-1, utx,0=0.
(2)
Граничные условия
u0,t=0, uπ,t=0.
(3)
Применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное частное решение задачи (1) − (3) в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (1)
Xx∙T''t=4X''x∙Tt.
Разделим равенство на 4Xx∙T(t)
T''(t)4T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T''t+4λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (3), получим
X0⋅Tt=0, Xπ⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, Xπ=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''x+λXx=0X0=0, Xπ=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 Xπ=C2 sinπλ=0
Поскольку C2≠0, то получаем следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sinπλ=0,
πλ=πn, n=1,2,3,…
Собственные значения задачи равны
λk=n2, n=1,2,3,…
Им соответствуют собственные функции
Xnx=sinnx, n=1,2,3,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn''(t)+4n2Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ancos2nt+Bnsin2nt.
Решение для функции ux,t записывается в виде ряда
ux,t=n=1∞TntXnx=n=1∞Ancos2nt+Bnsin2ntsinnx
utx,t=n=1∞2n-Ansin2nt+Bncos2ntsinnx
Коэффициенты An,Bn этого ряда найдем из начальных условий (2)
ux,0=n=1∞Ansinnx=12cos2x-1,
utx,0=n=1∞2nBnsinnx=0.
Учитывая полноту системы собственных функций sinnxn=1∞ на отрезке [0,π] из второго начального условия следует, что
Bn=0, n=1,2,…
Из первого соотношения следует, что коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции 12cos2x-1 в ряд Фурье по собственным функциям sinnxn=1∞
An=2π0π12cos2x-1sinnxdx=1π0πcos2xsinnxdx-1π0πsinnxdx
Вычислим эти интегралы по отдельности.
1π0πsinnxdx=-1πncosnx0π=--1n-1πn
При n=2
1π0πcos2xsin2xdx=12π0πsin4xdx=-14πncos4x0π=0
При n≠2
1π0πcos2xsinnxdx=12π0πsinn+2x+sinn-2xdx=
=-12πcosn+2xn+20π+cosn-2xn-20π=-12π-1n-1n+2+-1n -1n-2=
=n-1n-1π4-n2.
Следовательно,
A2=0.
An=n-1n-1π4-n2+-1n-1πn=4-1n-1πn4-n2, n≠2.
Решение исходной начально-краевой задачи (1) − (3) будет
ux,t=n=1∞Ancos2ntsinnx=n=1n≠2∞4-1n-1πn4-n2cos2ntsinnx.
Учитывая, что
-1n-1=0, если n=2k-четное -2, если n=2k+1-нечетное
функция ux,t примет вид
ux,t=k=0∞8π(2k+1)(2k+1)2-4cos2(2k+1)tsin(2k+1)x.
Ответ:
ux,t=8πk=0∞cos2(2k+1)tsin(2k+1)xπ(2k+1)(2k+1)2-4.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
