Дана плотность вероятности fXY(x y) двумерной случайной величины
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Дана плотность вероятности fXY(x;y) двумерной случайной величины:
fXYx;y=C1-xy,x;y∈D;0,x;y∉D;, где D=x;y0≤x≤1, 0≤y≤1,
Найти:
а) значение коэффициента С;
б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y;
в) математические ожидания M[X] и M[Y];
г) дисперсии DX и DY, среднеквадратические отклонения σX и σY;
д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y;
е) установить, зависимы или нет компоненты X и Y.
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
а) C=43
б) f1x=232-x, x∈0;1, f2y=232-y, y∈0;1
в) MX=49, MY=49
г) DX=0,08; DY=0,08
σX=0,283; σY=0,283
д) KXY=-0,1234, rxy=-0,154
е) связь между X и Y слабая, обратная
Myx=3-2x6-3x
Решение
А) значение коэффициента С
Найдем константу С из условия нормировки, учитывая, что возможные значения случайной величины принадлежать конечной области D:
DfXYx;ydxdy=1
Получим:
DfXYx;ydxdy=01dy01C1-xydx=C01dyx-y∙x2201=C011-12ydy==Cy-y2401=C∙34=1
Значит, C=43.
fXYx;y=431-xy,x;y∈D;0,x;y∉D;, где D=x;y0≤x≤1, 0≤y≤1,
б) безусловные законы распределения случайных величин X и Y
Найдем функцию плотности вероятности f1(x) случайной величины X:
f1x=-∞+∞fXYx;ydy=01431-xydy=43y-x∙y2201=431-12x==232-x, x∈0;1
Найдем функцию плотности вероятности f2(y) случайной величины Y:
f2y=-∞+∞fXYx;ydx=01431-xydx=43x-y∙x2201=431-12y==232-y, y∈0;1
в) математические ожидания M[X] и M[Y]
MX=-∞+∞xf1xdx=01232x-x2dx=23x2-x3301=231-13=49
MY=-∞+∞yf2ydy=01232y-y2dy=23y2-y3301=231-13=49
г) дисперсии DX и DY, среднеквадратические отклонения σX и σY;
DX=-∞+∞x2f1xdx-(M[X])2=01232x2-x3dx-1681=232x33-x4401-1681==2323-14-1681=518-1681≈0,08
DY=-∞+∞y2f2ydy-(M[Y])2=01232y2-y3dy-1681=232y33-y4401-1681==2323-14-1681=518-1681≈0,08
σX=DX=0,08=0,283
σY=DY=0,08=0,283
д) корреляционный момент и коэффициент корреляции системы случайных величин X и Y
Найдем корреляционный момент по формуле:
KXY=Dx-MXy-MYfXYx;ydxdy
KXY=Dx-MXy-MYfXYx;ydxdy=43Dx-49y-491-xydxdy==4301dy01x-49y-491-xydx=4301dyy-4901x-491-xydx==4301dyy-4901x-49-x2y+49xydx==4301dyy-49x22-49x-yx33+49y∙x2201=4301dyy-4912-49-13y+29y==4301y-49-19y+118dy=4301-19y2+118y+481y-281dy==43-y327+y236+2y281-2y8101=43-127+136+281-281=43∙-1108=-181≈≈-0,1234
Найдем коэффициент корреляции по формуле:
rxy=KXYσXσY
rxy=-1810,283∙0,283≈-0,154
е) установим, зависимы или нет компоненты X и Y.
Т.к
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
