Дана плита, длина, ширина и высота которой известны

Для решения поставленной задачи будем использовать метод Бубнова - Галёркина применив к уравнению Софи Жермен .
Запишем уравнение метода Бубнова – Галёркина применив к уравнению Софи Жермен.
(1)
Суть метода – задать функцию прогиба, так чтобы она удовлетворяла условиям закрепления плиты. Аппроксимирующую функцию зададим в виде произведения двух функции , каждая из которой зависит только от одной переменной. Для определения аппроксимирующей функции, вырежем из плиты две балки-полоски с шириной 1 м в перпендикулярных направления.
Введем систему координат xyz в верхнем углу, ось z направим вниз, две другие направим в плоскости плиты и параллельно сторонам плиты в направление шарнирно опертых кромок.
Выделяем балки-полоски в середине каждой стороны.
Рассмотрим балку в плоскости zOx
В качестве аппроксимирующей функции зададим полином четвертой степени.
Правильность подобранной функции можно проверить по граничным условиям.
Как видно из анализа заданная функция полностью удовлетворяет всем граничным условиям, следовательно её можно использовать в качестве аппроксимирующей функции в направление оси x.
Рассмотрим балку в плоскости zOy
В качестве аппроксимирующей функции зададим полином четвертой степени, который можно построить методом начальных параметров.
Правильность подобранной функции можно проверить по граничным условиям.
Как видно из анализа заданная функция полностью удовлетворяет всем граничным условиям, следовательно её можно использовать в качестве аппроксимирующей функции в направление оси y.
Тогда функция прогибов для плиты примет вид:
Вычисляем левую часть уравнения (1):
Для ускорения математических операции применим программный комплекс Wolfram Mathematica.
Подставим полученный результат в левую часть уравнения (1) и вычисляем этот двойной интеграл:
Вычисляем правую часть уравнения (1):
Правая часть представляет работу внешних сил (в нашем случае – только распределенные моменты приложенные только к одной грани)