Дана балка на двух опорах на которую действуют на которую действуют: равномерно распределенная нагрузка

Определяем реакции в опорах.
MAi=0,
M-ql3+l4+l5+l6l1+l2+l3+l4+l5+l62+RBl1+l2+l3+l4+l5+l6-Pl1+l2+l3+l4+l5+l6+l7=0
RB=M-q⋅1,50,72+1,52-P⋅3,362,22=
=12-1,1⋅1,50,72+1,52-2,2⋅3,362,22=-0,98 кН
MBi=0,
-RA⋅l1+l2+l3+l4+l5+l6+M+ql3+l4+l5+l622-Pl7=0
RA=M+ql3+l4+l5+l622-Pl7l1+l2+l3+l4+l5+l6=
=12+1,1⋅1,522-2,2⋅1,142,22=4,83 кН
Проверка:
Pyi=0RA-P-ql3+l4+l5+l6+RB=04,83-2,2-1,1⋅1,5-0,98=0;0≡0,
Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок 0≤x1<l1
Qy1=RA=4,83 кН;
Mz1=RAx1; Mz1=0 x1=0;Mz1=4,83⋅0,6=2,9 кН⋅м x1=0,6 м
2-й участок 0≤x2<l2
Qy2=RA=4,83 кН x2=0;
Mz2=-M+RA(l1+x2);
Mz2=-M+RAl1=-12+4,83⋅0,6=-9,1 кН⋅м x2=0;
Mz2=-M+RAl1+l2=-12+4,83⋅0,72=-8,52 кН⋅м x2=l2;
3-й участок 0≤x3<l3+l4+l5+l6
Qy3=RA-qx3;
Qy3=RA=4,83 кН x3=0;
Qy3=RA-ql3+l4+l5+l6=4,83-1,1⋅1,5=3,18 кН;x3=l3+l4+l5+l6
Mz3=-M+RAl1+l2+x3-qx322;
Mz3=-M+RAl1+l2=-12+4,83⋅0,72=-8,52 кН⋅м x3=0;
Mz3=-M+RAl1+l2+l3+l4+l5+l6-ql3+l4+l5+l622=0 x3=l3+l4+l5+l6
4-й участок 0≤x4<l7
Qy4=P=2,2 кН;
Mz4=-Px4;
Mz4=0 (x4=0);
Mz4=-2,2⋅1,14=-2,51 кН⋅м (x4=l7);
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок П2.1).
Составляем условие прочности.
σmax=Mz maxWz≤σ,
Так как Mz max=9,1 кН⋅м, то
Wz≥9,1⋅103225⋅106=40,4⋅10-6 м3=40,4 см3
По справочным данным стали прокатной подбираем:
Двутавр № 10 (Wz= 39,7 см3, Fд= 12,0 см2);
Швеллер № 12 (Wz= 50,6 см3, Fш= 13,3 см2).
Подбираем размеры круга и прямоугольника.
Для круга
Wz=πd332
тогда
d=332Wzπ=332⋅40,4π=7,44 см
Площадь круга:
Fк=πd24=π⋅7,4424=43,45 см2
Для прямоугольника Wz=bh26=b⋅1,4b26=0,327b3, поэтому
b=3Wz0,327=340,40,327=4,98 см
Определим площадь:
Fп=bh=1,4b2=34,7 см2
Из четырех сечений наиболее выгодным является двутавр (Wz = 39,7 см3, Fд = 12,0 см2, Iz=198 см4), как обладающий наименьшей площадью.
Определяем углы поворота сечений и прогибы.
Запишем обобщенную функцию изгибающего момента Мz и подставим ее в примерное дифференциальное уравнение упругой линии балки:
Mz=RAx⟵1-M(x-0,6)0⟵2-qx-0,8422⟵3-RBx-2,22+qx-2,2222⟵4
d2ydx2=1EIzRAx⟵1-M(x-0,6)0⟵2-qx-0,8422⟵3-RBx-2,22+qx-2,2222⟵4
Последнее выражение проинтегрируем дважды без раскрытия скобок:
dydx=θ=1EIzC+RAx22⟵1-M(x-0,6)⟵2-qx-0,8436⟵3-RBx-2,2222+qx-2,2236⟵4
y=1EIzCx+D+RAx36⟵1-Mx-0,622⟵2-qx-0,84424⟵3-RBx-2,2236+qx-2,22424⟵4
Постоянные интегрирования C и D найдем из граничных условий:
при х =0; у = 0 (шарнирно-подвижная опора в начале 1-го участка) и при х = 2,22 м; у = 0 (шарнирно-неподвижная опора в начале 4-го участка)
Cx+D=0;Cx+D+RAx36⟵1-Mx-0,622⟵2-qx-0,84424⟵3=0
C⋅0+D=0;C⋅2,22+D+4,83⋅2,2236-12⋅2,22-0,622-1,1⋅2,22-0,84424=0
D=0;
C=-3,2;
Для первого участка (0≤x<0,6 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22;θ=CEIz=3,2EIz x=0;θ=1EIz⋅3,2+4,84⋅0,622=4,07EIz (x=0,6 м);
y=1EIzCx+D+RAx36;
y=1EIz⋅D=0EIz=0 x=0;
y=1EIz3,2⋅0,6+4,84⋅0,636=2,09EIz (x=0,6 м)
Для второго участка (0,84≤x<0,92 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-Mx-qx-0,8436;
θ=1EIz⋅3,27+9,4⋅0,8422-10⋅0,84=-1,81EIz (x=0,84 м);
θ=1EIz⋅3,27+9,4⋅0,9222-10⋅0,92-1,00,92-0,8436=-1,95EIz (x=0,92 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx22-qx-0,84424;
y=1EIz3,27⋅0,84+0+9,4⋅0,8436-10⋅0,8422=0,15EIz (x=0,84 м)
y=1EIz3,27⋅0,92+0+9,4⋅0,9236-10⋅0,9222-1⋅0,92-0,84424=0 (x=0,92 м)
Для третьего участка (0,92≤x<1,16 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-Mx-qx-0,8436+RBx-0,9222;
θ=1EIz⋅3,27+9,4⋅0,9222-10⋅0,92-1,00,92-0,8436=-1,95EIz (x=0,92 м);
θ=1EIz⋅3,27+9,4⋅1,1622-10⋅1,16-1,01,16-0,8436+-61,16-0,9222=-2,18EIz (x=1,16 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx22-qx-0,84424+RBx-0,9236;
y=1EIz3,27⋅0,92+0+9,4⋅0,9236-10⋅0,9222-1⋅0,92-0,84424=0 (x=0,92 м)
y=1EIz3,27⋅1,16+0+9,4⋅1,1636-10⋅1,1622-1⋅1,16-0,84424-61,16-0,9236=-0,5EIz (x=1,16 м)
Для четвертого участка (1,16≤x<2,24 м)
θ=1EIz⋅C+RAx22-Mx-qx-0,8436+RBx-0,9222-Px-1,1622;
θ=1EIz⋅3,27+9,4⋅1,1622-10⋅1,16-1,01,16-0,8436+-61,16-0,9222=-2,18EIz (x=1,16 м);
θ=1EIz⋅3,27+9,4⋅2,2422-10⋅2,24-1,02,24-0,8436+-62,24-0,9222-22,24-1,1622=-2,39EIz (x=2,24 м);
y=1EIz⋅Cx+D+RAx36-Mx22-qx-0,84424+RBx-0,9236-Px-1,1636;
y=1EIz3,27⋅1,16+0+9,4⋅1,1636-10⋅1,1622-1⋅1,16-0,84424-61,16-0,9236=-0,5EIz (x=1,16 м)
y=1EIz3,27⋅2,24+0+9,4⋅2,2436-10⋅2,2422-1⋅2,24-0,84424-62,24-0,9236-22,24-1,1636=-3,03EIz (x=2,24 м)