Дана балка на двух опорах на которую действуют на которую действуют: равномерно распределенная нагрузка q = 1,5 кН/м (3-8 вверх)

Определяем реакции в опорах.
MAi=0,
-Pl1-M+ql3+l4+l5+l6+l7⋅l1+l2+l3+l4+l5+l6+l72+RBl1+l2+l3+l4+l5+l6=0
RB=Pl1+M-ql3+l4+l5+l6+l7⋅l1+l2+l3+l4+l5+l6+l72l1+l2+l3+l4+l5+l6=
=-3⋅1,1-22+1,5⋅4,73⋅2,87+4,7324,95=-2,295 кН
MBi=0,
-RAl1+l2+l3+l4+l5+l6-Pl2+l3+l4+l5+l6-M-ql3+l4+l5+l622+ql722=0
RA=-Pl2+l3+l4+l5+l6-M-ql3+l4+l5+l622+ql722l1+l2+l3+l4+l5+l6=
=-3⋅3,85-22-1,5⋅3,0822+1,5⋅1,65224,95=-7,8 кН
Проверка:
Pyi=0RA+P+ql3+l4+l5+l6+l7+RB=0-7,8+3+1,5⋅4,73-2,295=0;0≡0,
Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок 0≤x1<l1
Qy1=RA=-7,8 кН;
Mz1=RAx1; Mz1=0 x1=0;Mz1=RAl1=-7,8⋅1,1=-8,58 кН⋅м (x1=l1)
2-й участок 0≤x2<l2
Qy2=RA+P=-7,8+3=-4,8 кН;
Mz2=RAl1+x2+Px2;
Mz2=RAl1=-7,8⋅1,1=-8,58 кН⋅м x2=0;
Mz2=RAl1+l2+Pl2=-7,8⋅1,87+3⋅0,77=-12,28 кН⋅м (x2=l2)
3-й участок 0≤x3<l3+l4+l5
Qy3=RA+P+qx3;
Qy3=RA+P=-7,8+3=-4,8 кН;x3=0
Qy3=RA+P+ql3+l4+l5=-7,8+3+1,50,55+0,44+0,33=-2,82 кН;x3=l3+l4+l5
Mz3=RAl1+l2+x3+qx322+P(l2+x3);
Mz3=RAl1+l2+Pl2=-7,8⋅1,87+3⋅0,77=-12,28 кН⋅м x3=0;
Mz3=RAl1+l2+l3+l4+l5+ql3+l4+l522+Pl2+l3+l4+l5=-7,8⋅3,19+1,5⋅1,3222+3⋅2,09=-17,31 кН⋅м;
4-й участок 0≤x4<l6
Qy4=RA+P+q(l3+l4+l5+x4);
Qy4=RA+P+ql3+l4+l5=-7,8+3+1,50,55+0,44+0,33=-2,82 кН;x4=0;
Qy4=RA+P+ql3+l4+l5+l6=-7,8+3+1,50,55+0,44+0,33+1,76=-0,18 кН (x4=l6);
Mz4=RAl1+l2+l3+l4+l5+x4+Pl2+l3+l4+l5+x4+ql3+l4+l522+qx422+M;
5-й участок 0≤x5<l7
Qy5=-qx5;
Qy5=0 x5=0;
Qy5=-ql7=-1,5⋅1,65=-2,48 кН x5=0;
Mz5=qx522;
Mz5=0 x5=0;
Mz5=ql722=1,5⋅1,6522=2,04 кН x5=l7;
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рисунок П2.1).
Составляем условие прочности.
σmax=Mz maxWz≤σ,
Так как Mz max=17,31 кН⋅м, то
Wz≥17,31⋅103335⋅106=51,67⋅10-6м3=51,67 см3
По справочным данным стали прокатной подбираем:
Двутавр № 12 (Wz= 58,4 см3, Fд= 14,7 см2);
Швеллер № 14 (Wz= 70,2 см3, Fш= 15,6 см2).
Подбираем размеры круга и прямоугольника.
Для круга
Wz=πd332
тогда
d=332Wzπ=332⋅51,67π=8,07 см
Площадь круга:
Fк=πd24=π⋅8,0724=51,2 см2
Для прямоугольника Wz=bh26=b(4b)26=2,667b3, поэтому
b=3Wz2,667=351,672,667=2,69 см
Определим площадь:
Fп=bh=4b2=28,85 см2
Из четырех сечений наиболее выгодным является двутавр (Wz = 58,4 см3, Fд = 14,7 см2, Iz=350 см4), как обладающий наименьшей площадью.
Определяем углы поворота сечений и прогибы.
Запишем обобщенную функцию изгибающего момента Мz и подставим ее в примерное дифференциальное уравнение упругой линии балки:
Mz=RAx⟵1+Px-l1⟵2+qx-l1-l222⟵3+Mx-l1-l2-l3-l4-l50⟵4+RBx-l1-l2-l3-l4-l5-l6⟵5
Mz=RAx⟵1+Px-1,1⟵2+qx-1,8722⟵3+Mx-3,190⟵4+RBx-4,95⟵5
d2ydx2=1EIzRAx⟵1+Px-1,1⟵2+qx-1,8722⟵3+Mx-3,190⟵4+RBx-4,95⟵5
Последнее выражение проинтегрируем дважды без раскрытия скобок:
dydx=θ=1EIzC+RAx22⟵1+Px-1,122⟵2+qx-1,8736⟵3+Mx-3,19⟵4+RBx-4,9522⟵5
y=1EIzCx+D+RAx36⟵1+Px-1,136⟵2+qx-1,87424⟵3+Mx-3,1922⟵4+RBx-4,9536⟵5
Постоянные интегрирования C и D найдем из граничных условий:
при х = 0; у = 0 (шарнирно-подвижная опора в начале 1-го участка)
Cx+D+RAx36=0;
C⋅0+D+RA⋅036=0;откуда D=0;
при x=l1+l2+l3+l4+l5+l6=4,95 м
Cx+0+RAx36+Px-1,136+qx-1,87424+Mx-3,1922=0
Cx+0+-7,8⋅4,9536+34,95-1,136+1,54,95-1,87424+224,95-3,1922=0
C=18,07
Для первого участка (0≤x<1,1 м)
θ=1EIzC+RAx22;θ=17,95EIzx=0;θ=1EIz17,95-7,8⋅1,8722=13,22EIz (x=1,1 м);
y=1EIzCx+D+RAx36;
y=1EIzRAx36=0 x=0;
y=1EIz17,95⋅1,1+0+(-7,8)⋅1,136=18,01EIz
Для второго участка (1,1≤x<1,87 м)
θ=1EIzC+RAx22+Px-1,122;
θ=1EIz18,07-7,8⋅1,122=13,22EIz x=1,1 м;
θ=1EIz18,07-7,8⋅1,8722+3⋅1,87-1,122=5,32EIz (x=1,87 м);
y=1EIzCx+D+RAx36+Px-1,136;
y=1EIz18,07⋅1,1+-7,8⋅1,136=18,01EIz x=1,1 м;
y=1EIz17,95⋅1,87+-7,8⋅1,8736+3⋅1,87-1,136=25,52EIz (x=1,87 м);
Для третьего участка (1,87≤x<3,19 м)
θ=1EIzC+RAx22+Px-1,122+qx-1,8736;
θ=1EIz18,07-7,8⋅1,8722+3⋅1,87-1,122=5,32EIz (x=1,87 м);
θ=1EIz18,07-7,8⋅3,1922+3⋅3,19-1,122+1,53,19-1,8736=-14,49EIz (x=3,19 м);
y=1EIzCx+D+RAx36+Px-1,136+qx-1,87424;
y=1EIz18,07⋅1,87+-7,8⋅1,8736+3⋅1,87-1,136=25,52EIz (x=1,87 м);
y=1EIz18,07⋅3,19+-7,8⋅3,1936+3⋅3,19-1,136+1,53,19-1,87424=20,19EIz (x=3,19 м);
Для четвертого участка (3,19≤x<4,95 м)
θ=1EIzC+RAx22+Px-1,122+qx-1,8736+Mx-3,19;
θ=1EIz18,07-7,8⋅3,1922+3⋅3,19-1,122+1,53,19-1,8736=-14,49EIz (x=3,19 м);
θ=1EIz18,07-7,8⋅4,9522+3⋅4,95-1,122+1,54,95-1,8736+224,95-3,19=-9,23EIz (x=4,95 м);
y=1EIz18,07⋅3,19+-7,8⋅3,1936+3⋅3,19-1,136+1,53,19-1,87424=20,19EIz (x=3,19 м);
y=1EIz17,95⋅4,95+-7,8⋅4,9536+3⋅4,95-1,136+1,54,95-1,87424+224,95-3,1922=0 (x=4,95 м);
Для пятого участка (4,95≤x<6,6 м)
θ=1EIzC+RAx22+Px-1,122+qx-1,8736+Mx-3,19+qx-3,1936+RBx-4,9522+qx-4,9536;
θ=1EIz18,07-7,8⋅4,9522+3⋅4,95-1,122+1,54,95-1,8736+224,95-3,19=-9,23EIz (x=4,95 м);
θ=1EIz18,07-7,8⋅6,622+3⋅6,6-1,122+1,56,6-1,8736+226,6-3,19-2,296,6-4,9522=-8,08EIz (x=6,6 м);
y=1EIzCx+D+RAx36+Px-1,136+qx-1,87424+Mx-3,1922+RBx-4,9536
y=1EIz18,07⋅4,95-7,8⋅4,9536+3⋅4,95-1,136+1,54,95-1,87424+224,95-3,1922=0 (x=4,95 м);
y=1EIz18,07⋅4,95+-7,8⋅4,9536+3⋅4,95-1,136+1,54,95-1,87424+224,95-3,1922-2,29⋅6,6-4,9536=-13,82EIz (x=6,6 м);