Дана плотность распределения p(x) случайной величины ξ

Для того, чтобы найти γ, воспользуемся условием нормировки плотности распределения
-∞∞pxdx=1
Для заданной функции
-∞∞pxdx=-∞γ0dx+γ1,81dx+1,8∞0dx=γ1,8dx=xγ1,8=1,8-γ=1
1,8-γ=1 ⟹ γ=1,8-1 ⟹ γ=0,8
Плотность распределения px случайной величины ξ имеет вид
px=1, x∈0,8;1,80, x∉0,8;1,8
Математическое ожидание
Mξ=-∞∞xpxdx=-∞0,8x∙0dx+0,81,8x∙1dx+1,8∞x∙0dx=0,81,8xdx=x220,81,8=3,24-0,642=2,62=1,3
Дисперсия
Dξ=-∞∞x2pxdx-M2=-∞0,8x2∙0dx+0,81,8x2∙1dx+1,8∞x2∙0dx-1,32=x330,81,8-1,69=5,832-0,5123-1,69=5,323-1,69=0,253≈0,0833
Для нахождения функции распределения случайной величины ξ воспользуемся формулой
Fx=Pξ<x=-∞xptdt
Если x≤0,8, то px=0, следовательно,
Fx=-∞x0dt=0
Если 0,8<x≤1,8, то
Fx=-∞0,80dt+0,8xdt=t0,8x=x-0,8
Если x>1,8, то
Fx=-∞0,80dt+0,81,8dt+1,8x0dt=t0,81,8=1,8-0,8=1
Функция распределения имеет вид
Fx=0, при x≤0,8x-0,8, при 0,8<x≤1,81, при x>1,8
Используя формулу Px1<ξ<x2=Fx2-Fx1 найдем вероятность
P1,3< ξ < 1,6=F1,6-F1,3=1,6-0,8-1,3+0,8=0,3
Ответ: γ=0,8, Mξ=1,3, Dξ≈0,0833, Fx=0, при x≤0,8x-0,8, при 0,8<x≤1,81, при x>1,8, P1,3< ξ < 1,6=0,3.