Дана плотность распределения непрерывной случайной величины ξ

Так как в интервале -π2,π2 функция η=2ξ-π4 не монотонна, то разобьём этот интервал на интервалы -π2,0 и 0,π2, в которых эта функция монотонна.
В интервале -π2,0 обратная функция ψ1η=-12η+π4.
В интервале 0,π2 обратная функция ψ2η=12η+π4.
Искомая плотность распределения найдем из равенства
gη=fψ1η∙ψ1'η+fψ2η∙ψ2'η
Найдем модули производных обратных функций
ψ1'η=-12=12 ; ψ2'η=12=12
Учитывая, что fξx=12cosx, получим
fψ1η=12cos-12η+π4=12cos12η+π4
fψ2η=12cos12η+π4
Тогда
gηy=12cos12η+π4∙12+12cos12η+π4∙12=12cos12η+π4
Так как η=2ξ-π4, причем ξ∈-π2,π2, то η∈-π4,3π4.
Плотность распределения имеет вид
gηy=0, y∉-π4,3π4 12cos12y+π4, y∈-π4,3π4
Для контроля правильности вычислений проверим выполнение свойства плотности распределения
-π43π412cos12y+π4dy=sin12y+π4-π43π4=sin123π4+π4-sin12-π4+π4=sinπ2-sin0=1
Математическое ожидание
Mη=-π43π4ygηydy=-π43π412ycos12y+π4dy=u=ydv=12cos12y+π4dydu=dyv=sin12y+π4=ysin12y+π4-π43π4--π43π4sin12y+π4dy=3π4sinπ2+2cos12y+π4-π43π4=3π4+2cosπ2-cos0=3π4-2≈0,3562