Дана кинетическая схема А ↔ В → С (k1 k-1 k2)

Скорость расходования вещества А выражается уравнением
dAdt=-k1∙A+k-1∙B.
Скорость образования и расходования вещества В выражается уравнением
dBdt=k1∙A-k-1∙B-k2∙B.
Скорость образования конечного продукта С выражается уравнением
dCdt=k2∙B.
Используем преобразование Лапласа. Скорость изменения концентрации вещества А выразим как
Р∙[A] – P∙[A]0 = -k1∙[A] + k-1[B];
P∙[B] = k1∙[A] – (k-1 + k2) [B];
P∙[C] = k2∙[B].
Получили систему алгебраических уравнений с тремя неизвестными: [A], [В] и [С].
Преобразуем первое уравнение у виду с учётом [A]0 = a:
Р∙[A] + k1∙[A] = P∙а + k-1[B];
A=P∙a+k-1∙BP+k1.
Из второго уравнения также выразим [A]:
A=P+k-1+k2∙Bk1.
Приравняем два полученных выражения и найдем [B]:
P∙a+k-1∙BP+k1=P+k-1+k2∙Bk1;
Р∙а∙k1 + k1∙k-1[B] = (Р2 + Р∙k1 + Р∙k-1 + k1∙k-1 + Р∙k2 + k1∙k2)∙[B];
Р∙а∙k1 = (Р2 + Р∙(k1 + k-1 + k2) + k1∙k2)∙[B];
B=P∙a∙k1P2+P∙k1+k-1+k2+k1∙k2.
Выражение в знаменателе можно рассмотреть как квадратное уравнение и представить в виде произведения (Р + γ1)∙(Р + γ2), где γ1 и γ2 – корни с обратным знаком квадратного уравнения Р2 + Р∙(k1 + k-1 + k2) + k1∙k2.
B=P∙a∙k1P+γ1∙P+γ2.
Подставим полученное выражение в уравнение для концентрации вещества А:
A=P+k-1+k2∙P∙aP+γ1∙P+γ2.
Концентрацию вещества С найдём из выражения
P∙[C] = k2∙[B];
C=k2∙BP;
C=k2∙a∙k1P+γ1∙P+γ2.
Найдём выражения для корней квадратного уравнения γ1 и γ2 (с обратным знаком):
Р2 + Р∙(k1 + k-1 + k2) + k1∙k2 = 0;
γ1,2=k1+k-1+k2∓k1+k-1+k22-4∙k1∙k22.
Переходя к оригиналам по табличным формулам, получим зависимость концентраций от времени:
A=a∙k-1+k2-γ1γ2-γ1∙e-γ1∙t-k-1+k2-γ2γ2-γ1∙e-γ2∙t.
B=a∙k1∙e-γ1∙tγ2-γ1-e-γ2∙tγ2-γ1.
[C] = a – [A] – [B];
C=a∙1-k1+k-1+k2-γ1γ2-γ1∙e-γ1∙t+k1+k-1+k2-γ2γ2-γ1∙e-γ2∙t.
Чтобы найти время, когда концентрация В максимальна, необходимо найти производную от выражения для концентрации В и приравнять её к нулю:
dBdt=a∙k1∙de-γ1∙tγ2-γ1-e-γ2∙tγ2-γ1dt=0.
de-γ1∙tγ2-γ1-e-γ2∙tγ2-γ1dt=0;
t=lnγ2γ1γ2-γ1.
Ответ: A=a∙k-1+k2-γ1γ2-γ1∙e-γ1∙t-k-1+k2-γ2γ2-γ1∙e-γ2∙t; B=a∙k1∙e-γ1∙tγ2-γ1-e-γ2∙tγ2-γ1;
C=a∙1-k1+k-1+k2-γ1γ2-γ1∙e-γ1∙t+k1+k-1+k2-γ2γ2-γ1∙e-γ2∙t; t=lnγ2γ1γ2-γ1.