Дана функция распределения случайной величины X

Функцию плотности распределения вероятностей найдем как производную от функции распределения:
fx=F'x=0, x<012sinx, 0≤x≤π0, x>π
Математическое ожидание найдем по формуле:
MX=-∞∞xf(x)dx=120πxsinxdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=sinxdx
du=dx v=-cosx
=-12xcosxπ0+120πcosxdx=-12xcosxπ0+12sinxπ0=π2
Дисперсию найдем по формуле:
DX=-∞∞x2fxdx-M2X=120πx2sinxdx-π24=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x2 dv=sinxdx
du=2xdx v=-cosx
=-12x2cosxπ0+0πxcosxdx-π24=π22+0πxcosxdx-π24=π24+0πxcosxdx=
Применим формулу интегрирования по частям еще раз:
u=x dv=cosxdx
du=dx v=sinx
=π24+xsinxπ0-0πsinxdx=π24+cosxπ0=π24-1-1=π24-2
Вероятность попадания непрерывно распределенной случайной величины в интервал (a;b) найдем по формуле:
Pa<X<b=Fb-Fa
PX<π2=P-∞<X<π2=Fπ2-F-∞=121-cosπ2=12
Медиану найдем, исходя из того, что:
FMe=12 => 121-cos(Me)=12 => cos(Me)=0 Me=π2