Дан временной ряд, характеризующий месячную динамику численности (чел.)
занятых в сфере услуг фирмы
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
yt
34 36 39 44 52 55 59 65 67 73 82 86 92 93 98
1. В предположении об изменении тенденции ряда по линейной модели найти коэффициенты линейного тренда yt=a0+a1*t и рассчитать точечный прогноз на 16-й месяц;
2. В предположении об изменении тенденции ряда по параболической модели найти коэффициенты тренда yt=a0+a1*t+a2*t2 и рассчитать точечный прогноз на 16-й месяц;
3. В предположении об изменении тенденции ряда по показательной модели найти коэффициенты тренда yt=a*bt и рассчитать точечный прогноз на 16-й месяц.
Решение
Для нахождения коэффициентов линейного тренда используется метод наименьших квадратов.
При этом производится переход к новой шкале, сумма значений которой равна 0
t -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
yt
34 36 39 44 52 55 59 65 67 73 82 86 92 93 98
В таком случае для линейного тренда коэффициенты находятся по следующим уравнениям:
a0*N=y
a1*t2=ty
Выполним расчеты в таблице
№ п/п t yt
t2
ty
1 -7 34 49 -238
2 -6 36 36 -216
3 -5 39 25 -195
4 -4 44 16 -176
5 -3 52 9 -156
6 -2 55 4 -110
7 -1 59 1 -59
8 0 65 0 0
9 1 67 1 67
10 2 73 4 146
11 3 82 9 246
12 4 86 16 344
13 5 92 25 460
14 6 93 36 558
15 7 98 49 686
Итого 0 975 280 1357
Тогда
a0 = 65
a1 = 4,85
Уравнение линейного тренда имеет вид yt=65+4,85t
Для 16-го месяца t=8
y16=65+4,85*8=103,77
Для параболического тренда коэффициенты находятся по следующим уравнениям:
a0*N+a2t2=y
a1*t2=ty
a0*t2+a2t4=t2y
Выполним расчеты в таблице
№ п/п t yt
t2
ty
t4
t2y
1 -7 34 49 -238 2401 1666
2 -6 36 36 -216 1296 1296
3 -5 39 25 -195 625 975
4 -4 44 16 -176 256 704
5 -3 52 9 -156 81 468
6 -2 55 4 -110 16 220
7 -1 59 1 -59 1 59
8 0 65 0 0 0 0
9 1 67 1 67 1 67
10 2 73 4 146 16 292
11 3 82 9 246 81 738
12 4 86 16 344 256 1376
13 5 92 25 460 625 2300
14 6 93 36 558 1296 3348
15 7 98 49 686 2401 4802
Итого 0 975 280 1357 9352 18311
Тогда
a0 = 64,5
a1 = 4,85
a2 = 0,027
Уравнение параболического тренда имеет вид yt=64,5+4,85t+0,027t2
Для 16-го месяца t=8
y16=65+4,85*8+0,027*82=104,99
Для показательного тренда коэффициенты находятся по следующим уравнениям:
lna=ln yN
lnb=t*ln yt2
Выполним расчеты в таблице
№ п/п t yt
ln y
t*ln y
t2
1 -7 34 3,53 -24,68 49
2 -6 36 3,58 -21,50 36
3 -5 39 3,66 -18,32 25
4 -4 44 3,78 -15,14 16
5 -3 52 3,95 -11,85 9
6 -2 55 4,01 -8,01 4
7 -1 59 4,08 -4,08 1
8 0 65 4,17 0,00 0
9 1 67 4,20 4,20 1
10 2 73 4,29 8,58 4
11 3 82 4,41 13,22 9
12 4 86 4,45 17,82 16
13 5 92 4,52 22,61 25
14 6 93 4,53 27,20 36
15 7 98 4,58 32,09 49
Итого 0 975 61,76 22,14 280
Тогда
a = 61,41
b = 1,08
Уравнение параболического тренда имеет вид yt=61,41*1,08t
Для 16-го месяца t=8
y16=61,41*1,088=115,59
Расчёт доверительных интервалов прогноза
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
