Дан тонкий однородный стержень с теплоизолированной боковой поверхность длиной l

В теплоизолированном с боковой поверхности стержне распределение температуры ux,t удовлетворяет одномерному уравнению теплопроводности
cρut=λuxx, 0<x<l, t>0,
λ − коэффициент теплопроводности; c − теплоемкость; ρ − плотность материала стержня.
ut=a2uxx, 0<x<l, t>0.
(1)
где a2=λ/cρ − коэффициент температуропроводности.
На левом краю стержня x=l задан закон изменения температуры, т.е. имеем граничное условие
u0,t=U01-e-t.
На правом краю x=l происходит теплообмен с окружающей средой по закону Ньютона
-λuxl,t=αul,t-uокр,
где α − коэффициент теплопередачи; uокр − температура окружающей среды. По условию задачи uокр=0, поэтому
uxl,t+hul,t=0,
где h=α/λ. Итак, имеем граничные условия
u0,t=U01-e-t, uxl,t+hul,t=0
(2)
В начальный момент температура стержня нулевая
ux,0=0.
(3)
Сведем задачу (1) − (3) к задаче с однородными граничными условиями. Для этого искомую функцию ux,t представим в виде
ux,t=vx,t+w(x,t),
где w(x,t) - некоторая функция удовлетворяющая граничным (2). Учитывая тип граничных условий (2) функцию wx,t можно взять в виде
wx,t=U01-e-t1+h(l-x)1+hl.
Проведем замену
ux,t=vx,t+wx,t=vx,t+U01-e-t1+hl-x1+hl.
Для функции vx,t получим задачу с однородными граничными условиями
∂∂tvx,t+U01-e-t1+hl-x1+hl=a2∂2∂x2vx,t+U01-e-t1+hl-x1+hl,
vt+U0e-t1+hl-x1+hl=a2vxx
vt=a2vxx-U0e-t1+hl-x1+hl,
(4)
v0,t=0, vxl,t+hvl,t=0,
(5)
ux,0=vx,t+U01-e-t1+hl-x1+hlt=0=vx,0=0,
vx,0=0.
(6)
Найдем собственные функции задачи (4) – (6), но с однородным уравнением
vt=a2vxx.
(4')
Для решения начально-краевой задачи (4) − (6) применим метод Фурье разделения переменных . Будем искать нетривиальное частное решение задачи в виде произведения
vx,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (4')
Xx∙T't=a2X''x∙Tt.
Разделим равенство на a2Xx∙T(t)
T'(t)a2T(t)=X''xXx=-μ2=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X''(x)+μ2Xx=0.
T't+a2μ2Tt=0.
Подставляя vx,t в виде XxTt в граничные условия (5), получим
X0Tt=0, X'l+hX(l) Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X'l+hX(l)=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+μ2Xx=0,X0=0, X'l+hXl=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosμx+C2 sinμx,
X'x=-μC1sinμx+μC2 cosμx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X'l+hXl=μC2 cosμl+hC2 sinμl=0
Поскольку C2≠0, то получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
μ cosμl+h sinμl=0,
tgμl=-μh.
(7)
Пусть μn (n=1,2,…) – положительные корни этого уравнения, тогда собственные значения будут μn2 , n=1,2,… Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinμnx, n=1,2,…
Решение vx,t неоднородной задачи (4) − (6) будем искать в виде ряда по собственным функциям однородной задачи
vx,t=n=1∞TntXnx=n=1∞Tntsinμnx.
Подставим функцию vx,t в неоднородное уравнение (4)
n=1∞Tn'tsinμnx=-a2n=1∞μn2Tntsinμnx-U0e-t1+hl-x1+hl.
Разложим неоднородность в уравнении в ряд Фурье по собственным функциям задачи на интервале (0,l)
-U0e-t1+hl-x1+hl=e-tn=1∞fn sinμnx,
fn=1Xn20l-U01+hl-x1+hlsinμnxdx.
Вычислим отдельно интегралы
0l-U01+hl-x1+hlsinμnxdx=U0μn0l1+hl-x1+hldcosμnx=
=U0μn1+hl-x1+hlcosμnx0l-0lcosμnx-h1+hldx=
=U0μn11+hlcosμnl-1+hl1+hl+h1+hl1μnsinμnx0l=
=U0μn11+hlcosμnl-1+h1+hl1μnsinμnl=в силу 7=
=U0μn11+hlcosμnl-1-11+hlcosμnl=-U0μn.
Xn2=0lXn2xdx=0lsin2μnxdx=120l1-cos2μnxdx=
=12x-12μnsin2μnx0l=12l-12μnsin2μnl=12l-1μnsinμnlcosμnl=
=в силу 7=12l+1hcos2μnl.
Поскольку μn – корни уравнения (7), то
sinμnl=-μnh cosμnl
С другой стороны,
cos2μnl+sin2μnl=1,
cos2μnl+-μnh cosμnl2=1 ⟹ cos2μnl=h2l2h2+μn2.
Тогда для квадрата нормы собственных функций получаем
Xn2=12l+hμn2+h2=lμn2+h2+h2μn2+h2.
Таким образом, коэффициенты равны
fn=2μn2+h2lμn2+h2+h-U0μn=-2U0μn2+h2μnlμn2+h2+h.
Подставляем это разложения в уравнение, получим
n=1∞Tn't sinμnx+n=1∞a2μn2Tnt sinμnx=e-tn=1∞fn sinμnx.
Подставим vx,t в виде ряда в начальное условие (6)
vx,0=n=1∞Tn0sinμnx=0.
Учитывая полноту системы собственных функций sinμnxn=1∞ на отрезке 0;l и сравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях sinμnx, получим следующие задачи Коши для функций Tnt
Tn't+a2μn2Tnt=fne-tTn0=0
Общее решение уравнение имеет вид
Tnt=Ane-a2μn2t+Tnчастt.
Частое решение неоднородного уравнения Tnчастt ищем исходя из вида неоднородности, т.е