Цилиндрический бесконечно длинный диэлектрический конденсатор заряжен до разности потенциалов U и имеет радиусы внешней и внутренней обкладок R0 и R соответственно

Запишем диэлектрическую проницаемость явно:
εr=R02R02+R2-r2
Учтем: R0=3R. Получим:
εr=9R210R2-r2
Запишем теорему Гаусса для вектора электрического смещения:
DdS=Q
Здесь D – вектор электрического смещения, Q – свободный заряд. Для цилиндрического случая – после интегрирования получим площадь боковой поверхности цилиндра:
DdS=D∙2πrh
Для вектора смещения:
D=Q2πrh=λ2πr
Тут λ – заряд на единицу длины.
Связь между электрическим смещением и напряженностью электрического поля:
D=εε0E→E=Dεε0=λ2πεε0r
Подставим диэлектрическую проницаемость:
Er=λ2πε0r10R2-r29R2
Вектор поляризованности:
P=χε0E=ε-1ε0E
Подставим:
P=λ2πrε-1ε
Pr=λ2πr9R210R2-r2-19R210R2-r2=λ2πrr2-R29R2
Найдем поверхностную плотность связанных зарядов:
σ'r=Pn=λε-12πεrcosφ=λcosφ2πr-λcosφ2πr10R2-r29R2
Тут φ – угол между нормалью поверхности и вектором поляризованности . Для внутренней поверхности cosφ=cosπ=-1, для внешней - cosφ=cos0=1. Получим для внутренней поверхности:
σ1'=σ'R=-λ2πR+λ2πR=0 Кл/м2
Для внешней поверхности:
σ2'=σ'3R=λ6πR-λ54πR=4λ27πR
Объемная плотность связанных зарядов:
ρ'=-∇P=1rddrrP
Здесь перешли в цилиндрическую систему координат